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Beitrag |
    
Thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. Juni, 2000 - 11:12: | 
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Ich bin Opfer einer didaktischen Lücke in meinem Mathebuch geworden, es handelt sich um die Lineare Approximation von Funktionswerten.
Die Schwierigkeit ist nur am Anfang, der Rest (der eigentlich komplizierter ist) leuchtet mir komischerweise ein.
Doch zunächst er Reihe nach.
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung läßt sich die Differenz der Funktionswerte f(a+h) und f(a) darstellen durch
f(a+h) - f(a) = f`(n)*h
Zunächst ersetzt man n durch x+hh, also ergibt sich
f(a+h) - f(a) = f'(a+hh)*h
Jetzt aber kommt es, ich zitiere: " Kennt man die Funktion an der Stelle f(a) genau, so kann man für ein genügend kleines h die Differenz f(a+h) - f(a) in guter Näherung durch h*f'(a) ersetzen, falls nur die "Schwankungsbreite" von f'(x) in diesem Intervall genügend klein ist. Für den genauen Wert f(a+h) haben wir dann den Näherungswert
f*(a+h) = f(a) + h*f'(a) gefunden.
Bei festem a und variablen h ist die Funktion f* eine lineare Funktion und daher besonders leicht zu berechnen. Der Graph von f* hat eine einfache geometrische Bedeutung: Er ist eine Gerade duch P(a|f(a)) und hat in a die Steigung f'(a). Es handelt sich also um die Tangente im Punkt P"
Das Prinzip ist mir klar, nur wie kann ich
- rechnerisch zeigen, das man vom Mittelwertsatz auf die Aussage f*(a+h) = f(a) + h*f'(a) kommt?
- erklären, warum ich vom Graphen der Funktion f
auf den Punkt P* mit den Koordinaten (a+h|f*(a+h)) komme? Warum lande ich dann auf der Tangente?
- den Begriff "Schwankungsbreite" erklären und geometrisch deuten?
Den komplizierteren Teil haben die Autoren erklassig erklärt, nur an diesem Teil bricht die an sich tolle Darstellung etwas ein. Wer kann mir da weiterhelfen? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juli, 2000 - 15:16: |
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Hi Thomas,
Bei Deinen Fragen geht es primär um den Begriff
des ersten Differentials einer Funktion.
Den Mittelwertsatz der Differentialrechnung brauchst Du
bei den folgenden Betrachtungen nicht; dieser Satz
tritt auch in den Lehrbüchern meistens einige Kapitel nach
den Ausführungen zum ersten Differential auf
Ist y = f(x) im Intervall [a,b] eine differenzierbare Funktion,
x0 eine feste Stelle in [a,b] , Dx ("delta x") = x -x0
eine (positive oder negative) gegebene Aenderung des
Argumentes x, so heisst das Produkt
f ' (x0) * Dx das Differential von f(x) an der Stelle x0
zur Aenderung Dx.
Dieses Differential wird mit df(x0) oder dy(x0) bezeichnet
und hängt von x0 einerseits und von Dx andrerseits ab.
Für die spezielle Funktion y = f(x) = x gilt :
Dy = dx = f ' (x) * Dx = 1 * Dx = Dx.,
also schreibt man auch Dx = dx .
Ein Beispiel: Sei f(x) = x^3. , dann ist df(x) = 3*x^2 * dx und für x = x0 = 2:
df(2) = 12 * dx
Für dx = 0.1 kommt
df(2) = 12*0.1 = 1.20
Es gilt ferner: f(2) = 8 , f(2.1) = 2.1^3; zugehörige Differenz:
Df = f(2.1) - f(2) = 2.1 ^ 3 - 2 ^ 3 = 1,261
df(2) = 1.20 ist eine Näherung für die genaue
Funktionsänderung Df beim Uebergang von x0 = 2 auf x1 = 2 +dx
Das Differential gibt uns den "Hauptanteil" der Aenderung ;
genauer: wir ersetzen die Kurve in der Umgebung des Punktes
P0 ( x0 / y0) durch die Tangente t und gehen bei x1 auf die
Tangente statt auf die Kurve (stelle selber eine geeignete Skizze auf !)
Wir merken uns:
Das Differential der Funktion y = f(x) an der Stelle x0 ist gleich dem Ordinatenzuwachs (Zunahme der y-Werte) an der Stelle x0 + dx
bis zur Tangente
Man geht also nur bis zur Tangente statt bis auf die Kurve in der
Umgebung des Punktes P0 ( x0 / y0) ;man nimmt bei dieser
sogenannten Linearisierung mit diesem "gap" eine Ungenauigkeit
in Kauf wie das untenstehende Beispiel zeigt.
Wir stellen noch mit der Punktrichtungsform der Geradengleichung
y - y0 = m* ( x - x 0 ) , wobei die Steigung m mit f '(x0)
übereinstimmt, die Gleichung der Tangente t im Punkt
P0 ( x0 / y0) auf ; sie lautet: ( y* sei der y-Wert eines Punktes auf t ) :
y * - y0 = f '( x0 ) * ( x - x0 )
Auf der linken Seite steht eine Näherung für die Funktionsdifferenz Dy , .
womit alles gesagte nochmals mit einer Formel ausgedrückt
und damit formuliert ist !
Zum Schluss das versprochene Beispiel:
Man berechne näherungsweise mit dem ersten Differential:
z = dritte Wurzel aus 7.9 :
y = f(x) = x ^ (1 / 3), x0 = 8 , dx = - 0.1
mit f ' (x) = 1 / 3 * x ^ ( - 2 / 3 ) folgt:
dy = f ' ( x0) * dx = - 1 / 12 * 0 . 1 = - 8.3 * 10 ^ ( - 3 )
Näherung für z = f (7.9) ~ f ( 8 ) + dy = 2 - 8.3 * 10 ^ (-3) = 1.99166
(mit Taschenrechner: 1.99163)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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