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Martin Jonas (Jonas)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 16:34: | 
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Wer kann mir folgende Aufgabe verständlich erläutern:
In einem Fischteich schwimmen 40 Karpfen, 16 Welse und 4 Hechte.
a) Ein Angler fängt "rein zufällig" 6 Fische (ohne Zurücklegen). Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
i) Der Angler erhält je 2 Fische von jeder Art
ii) Es werden genau 5 Fische derselben Art gefangen.
iii) Der Angler fängt genau 4 Karpfen ode rgenau 3 Welse oder genau 3 Hechte.
b) Angenommen, der Angler habe es nur auf HEchte abgesehen. Anstatt 6 Fische ohne Zurücklegen zu angeln, fängter solange Fische, bis er zum ersten Mal einen Hecht erhalten hat; gefangene Karpfen oder Welse setzt er in den Teich zurück. Es sei pn die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er im n-ten Versuch zum ersten Mal einen Hecht geangelt hat. Wie groß muß n mindestens sein, damit pn kleiner als 1% ist? |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 19:39: |
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Hallo Jonas,
a)
Anzahl aller Möglichkeiten 6 Fische zu ziehen :
( (40+16+4) über 6)= ( 60 über 6 )=:M
alle Kombinationen gleichwahrscheinlich, d.h. W. = Zahl der günstigen Fälle / Anzahl aller Möglichkeiten
i) Zahl G der günstigen Fälle
von jeder Sorte 2 Fische : von den 40 Karpfen 2 : hierfür (40 über 2) Kombinationen ( Ziehen ohne Zurücklegen)
genauso (16 über 2)Kombinationen für die Welse und
(4 über 2) Kombinationen für die Hechte
alle diese Kombinationen lassen sich beliebig miteinander verbinden, d.h. insgesamt
( 40 über 2)*(16 über 2)*(4 über 2)günstige Fälle
also ist die gesuchte W. = G/M
ii) M ist (60 über 6) wie in i)
zur Zahl G der günstigen Möglichkeiten: genau 5 Fische derselben Art bedeutet : genau 5 Karpfen oder genau 5 Welse
Anzahl der Möglichkeiten für genau 5 Karpfen :
(40 über 5) Möglichkeiten 5 Karpfen zu ziehen,(20 über 1)= 20 Möglichkeiten, einen Fisch zu ziehen, der kein Karpfen ist : 20, also Anzahl aller Möglichkeiten genau 5 Karpfen zu ziehen : (40 über 5)*20
Anzahl der Möglichkeiten für genau 5 Welse :
(16 über 5)*((60-16) über 1)=(16 über 5)*44
Es ist also die Zahl G der günstigen Fälle =
(40 über 5)*20+(16 über 5)*44 und die gesuchte W. ist G/M
iii)(*)genau vier Karpfen heißt : 4 Karpfen und 2 Fische von den 20 übrigen
(+)genau 3 Welse heißt : von den 16 Welsen 3, und von den anderen 44 Fischen 3
(++)genau 3 Hechte heißt : von den 4 Hechten 3 und von den anderen 56 Fischen 3
(+++)Abziehen muß man noch die Anzahl der Möglichkeiten, sowohl 3 Hechte als auch 3 Welse zu ziehen, den diese würden sowohl bei (+) als auch bei (++) also doppelt berücksichtigt. Dies kommt immer dann vor, wenn sich zwei Ereignisse überschneiden, also gleichzeitig vorkommen können.
G ist also hier = Anzahl bei (*)+Anzahl bei (+) +Anzahl bei (++) -Anzahl von (+++) wobei man diese Anzahlen wie bei (i) und (ii) berechnet
b)
Sei pn die W. dafür,beim n - ten Versuch zum ersten Mal einen Hecht zu fangen
zu beginn sind 4 Hechte und 56 andere Fische im Teich, also ist die W. beim 1. Versuch einen Hecht zu fangen = 4/60
also ist pn=4/60
die W. beim 2. Versuch zum ersten Mal einen Hecht zu fangen ist (56/60)*4/60, denn nur in den Fällen, in denen bei ersten Versuch kein Hecht gefangen wurde ( dies sind genau 56 von 60 ), wird ein zweiter Versuch gestartet, und dann ist die W. dafür einen Hecht zu fangen wieder 4/60 da die Fische in den Teich zurückgesetzt werden
die W. beim 3. Versuch zum ersten Mal einen Hecht zu fangen, ist (56/60)*(56/60)*4/60, denn in den ersten beiden Versuchen darf kein Hecht gefangen werden, beim 3. Versuch dagegen muß ein Hecht gefangen werden.
Allgemein gilt für dieses Beispiel : die W. dafür, beim n - ten Versuch zum ersten Mal einen Hecht zu fangen = 4/60*((56/60)hoch (n-1))=
1/15*(14/15)hoch(n-1)
Wann ist diese W. <0,01?
Löse 1/15*(14/15)hoch(n-1)<0,01 nach n auf, d.h. (14/15) hoch (n-1)<0,15 benutze ln um n auszurechnen und beachte, daß sich das Zeichen einer Ungleichung umdreht, wenn Du durch eine negative Zahl teilst. |
Martin Jonas (Jonas)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 18:08: |
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Hallo Armin,
auch nochmal danke für das Lösen dieser Aufgabe, hier habe ich zu ii) noch eine Frage: Was ist eigentlich mit den Hechten, es sind ja nur 4 da und deswegen kann ich also von dieser Art keine 5 fangen, und fällt völlig weg oder wie ist das?
zu iii) Ist hier der Schnitt den ich abziehe:
(40 über 4)*(16 über 3)*(4 über 3)/M ?
Und allgemein offene Fragen:
1.) An welchen Teilen in Aufgaben kann ich leicht erkennen um welche Verteilung (binomial, hypergeometrisch, Poisson, ...)?
2.) Wie kann man sich verdeutlichen, daß Ereignisse voneinander unabhängig sind?
Vielen Dank schon mal für die Lösung! |
Armin Heise (Armin)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 19:25: |
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Hallo Jonas, wie Du richtig erkannt hast, gibt es keine Möglichkeit von 4 vorhandenen Hechten 5 zu fangen, d.h. dieser Fall braucht nicht betrachtet zu werden.
die Anzahl der Kombinationen, die Du bei iii) abziehen mußt ist (16 über 3)*(4 über 3), wieso multiplizierst Du noch mit 40 über 4? Dies würde heißen : 3 Hechte , 4 Welse und 4 andere Fische werden gezogen.
zu 2) Ereignisse sind dann voneinander unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinflußt.
z.B. bei Würfeln mit 2 Würfeln ist die Augenzahl des 1. Würfels von der des zweiten Würfels unabhängig
die Ereignisse : der 1. Würfel zeigt eine 5 und die Augensumme ist größer als 6 sind nicht voneinander unabhängig, denn wenn der 1. Würfel eine 5 zeigt, ist es sehr leicht, mit der Augensumme über 7 zu kommen. ( alle Kombinationen wie ( 1,1), ( 1,2) ,... sind ja nicht mehr möglich, wenn man weiß, das die 1. Augenzahl eine 5 ist.
Meistens ist anschaulich klar, ob Ereignisse voneinander unabhängig sind oder nicht
1) Hypergeometrische Verteilung : n Stück sind vorhanden, s davon haben eine bestimmte Eigenschaft, m Stück werden gezogen, wie wahrscheinlich ist es, k Stück von den s vorhandenen mit einer bestimmten Eigenschaft zu ziehen
Binomialverteilung : ein Experiment wird n - mal wiederholt ( d.h. ohne Zurücklegen ) z.B. n - maliger Münzwurf, wie wahrscheinlich ist es, k mal Kopf zu ziehen, n - mal Würfeln mit einem Würfel, wie wahrscheinlich sind k 4en, ....
Poissonverteilung : als Näherung für Binomialverteilung mit kleinem p, großem n und n*p klein,
z.B. wie Wahrscheinlich ist es, daß unter
80 000 000 Personen, die jeweils eine Reihe getippt haben ( d.h. n= 80 000 000 mal wurde dasselbe Experiment durchgeführt also Binomialverteilung ) 5 mal 6 Richtige getippt werden
p=1/13983816, n=80 000 000
Setze Lamda = n*p
Die Anzahl X der Personen,die 6 Richtige getippt haben ist näherungsweise poissonverteilt mit dem Parameter Lamda = 80 000 000/13983816,d.h.
P(X=k)=(lamda hoch k)/k!*(e hoch (-Lamda))
typische Aufgabenstellung für Poissonverteilung auch : Kunden innerhalb eines Zeitraumes in einem Geschäft.
Schönen Tag noch!
Benutze Poissonverteilung |
petzi
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 14:35: |
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hallo!
ich muss ein referat ueber den erwartungswert der hypergeometrischen verteilung halten und die herleitung des erwartungswertes erklaeren. kann mir vielleicht jemand etwas dazu erklaeren? |
Bodo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Juli, 2000 - 05:54: |
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Hier steht was:
http://www.uni-bielefeld.de/~hjawww/glossar/hypergeo.htm
Bodo |
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