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Mark
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 15:34: | 
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Wer kann mir bitte helfen, ich steig nicht durch.
Es seien V ein Vektorraum und U1,U2,U3 Untervektorräume von V. Zeigen sie
a) U1 teilmenge U3 <--> (U1 +U2 )schnitt U3 = U1 +(U2 schnitt U3)
b)V= U1 vereinigt U2<--> [V= U1 oder V=U2]
sorry wegen der komischen Darstellung, aber woher bekomme ich die richtigen Operanden? |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. Juni, 2000 - 11:23: |
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Hallo Mark, lang lebe die anschauliche Mathematik!
Vorbemerkung: x Vektor aus U1 bedeutet: x läßt sich vollständig als Linearkombination (LK) bezüglich einer Basis aus U1 darstellen. x Vektor aus (U1 vereinigt U2) heißt: x läßt sich vollständig als LK einer Basis aus U1 ODER einer Basis aus U2 darstellen, d.h. x Vektor aus U1 ODER x Vektor aus U2.
Zu b), von links nach rechts:
V=U1 vereinigt U2 => x Vektor aus U1 ODER x Vektor aus U2 => V Teilmenge U1 ODER V Teilmenge U2 => V Teilmenge (U1 vereinigt U2). Da sowieso (U1 vereinigt U2) eine Teilmenge von V ist (gilt für alle UVR's), ist zusammen V = U1 vereinigt U2.
Zu b), von rechts nach links:
V=U1 oder V=U2. Wir gehen von V=U1 aus (V=U2 analog). da U2 UVR von V ist, ist U2 Teilmenge von V. Wegen V=U1 ist U2 Teilmenge von U1. Damit ist U1 vereinigt U2 = U1 = V.
Zu a) Ich gehe von hoffentlich richtiger Gleichung aus:
(U1 + U2) schnitt U3 = (U1 schnitt U3) + (U2 schnitt U3)
Zu a), von links nach rechts:
Wegen U1 teilmenge U3 ist (U1 schnitt U3) = U1. Damit wird
(U1 + U2) schnitt U3 = (U1 schnitt U3) + (U2 schnitt U3) = U1 + (U2 schnitt U3).
Zu a), von rechts nach links:
x Elemnt U1 (zu zeigen: x Element U3). x aus U1 => x aus U1 + (U2 schnitt U3). Schlimmstenfalls wird zu x der Nullvektor addiert, der ja in allen UVR's, also auch in (U2 schnitt U3) liegt.
Mit x aus U1 + (U2 schnitt U3) = (U1+U2) schnitt U3 folgt: x aus U3.
Schöne, lebendige Mathe, gelle? Ciao. |
Mark
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. Juni, 2000 - 16:47: |
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Hallo Ari
Danke für deine Lösung, ich hab aber trotzdem nicht alle Teile verstanden.
Vielleicht kannst du oder irgendjemand mir das noch etwas erklären:
zu b), von links nach rechts:
Du sagst V=U1 vereinigt U2 => x Vektor aus U1 ODER x Vektor aus U2 => V Teilmenge U1 ODER V
Teilmenge U2. Ich verstehe nicht warum V Teilmenge U1 ODER V Teilmenge U2 ist?!Was ist, wenn x im Schnitt von U1 und U2 liegt, dann ist doch V nicht Teilmenge U1 oder V Teilmenge U2.
Zu a), von rechts nach links:
ich verstehe hier die Aussage nicht: Schlimmstenfalls wird zu x der Nullvektor addiert-warum? U2 geschnitten mit U3 muss doch nicht der Nullvektor sein, oder? |
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