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Andi
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 17:14: | 
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Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte, ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Es seien (G,°) eine Gruppe mit endlich vielen Elementen und x € G ein festes Element. e bezeichne das neutrale Element in G. Zeigen sie
(i) es gibt ein kleinstes k € N mit x^k=e
(ii)Für das k aus (i): B:={x,x^2,...,x^k} ist mit der Verknüpfung ° eine abelsche Gruppe( d.h eine Untergruppe von G) mit |B|= k.
Im voraus Danke |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 21:24: |
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Hallo Andi
i)
Angenommen, es gibt kein solches k. Da es aber nur endlich viele Elemente in der Gruppe gibt, und eine Gruppe per Definition abgeschlossen ist, muss es zwei verschiedene Indizes m und n geben, so dass a^n = a^m. Sei oBdA n<m, dann kann man mit (a^n)^(-1) multiplizieren, und die Behauptung steht da.
ii)
Da G eine endliche Gruppe ist, ist folgendes Kriterium hinreichend: fuer b,c aus U ist bc auch aus U, also wollen wir mal:
b = a^p, c = a^q => bc = a^(p+q)
1.Fall:
p+q<=k, dann ist bc per Definition in U
2.Fall:
p+q>k, dann ist a^(p+q) = a^k * a^s fuer ein s<=k, da aber a^k = e, ist bc aus U.
Uebrigens:
ist n die Anzahl der Elemnte von G, so ist a^n auf alle Faelle e, k kann aber auch kleiner sein, es ist aber auf alle Faelle ein Teiler von n. Daraus folgt auch uebrigens, dass wenn n eine Primzahl ist, dass es dann nur eine Gruppe gibt, naemlich die zyklische, die keine nichttrivialen Untergruppen enthaelt.
Nochwas: Bist Du noch in der Schule? Wenn ja, wuede ich mich freuen, wenn Du Deinem Lehrer meine Hochachtung weiterleitest, er scheint Mathematik vernuenftig von Grund auf zu lehren.
viele Gruesse
SpockGeiger |
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