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Beitrag |
    
Julia (Julia81)
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 01:40: | 
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hallo
ich baumel gleich... - folgende Integrale bringen mich noch um...
1. INT [Wurzel(x)/(1-x)]
2. INT [1/(1-x^2)]
3. INT [e^x/(e^x * e^(-x)]
4. INT [1/(x^3 - 1)]
ergebenst,
Julia |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 09:53: |
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Hi Julia,
Es lohnt sich nicht, wegen dieser Integrale zu verzweifeln.
Wir wollen sie zu lösen versuchen; ein paar Grundkenntnisse dazu sind allerdings erforderlich; ich will Dir diese ad hoc beibringen.
Wir lösen zuerst Nr.3
Hier handelt es sich um einen Gag des Aufgabenstellers.
Der Nenner lässt sich vereinfachen und wie !
Er hat den Wert eins, wie Du leicht feststellst :
e ^ x * e^ (- x ) = e ^ ( - x + x ) = e ^ 0 = 1.
Daher haben wir bloss int [e^x)* dx] zu ermitteln;
Resultat: e ^ x + C
(die Integrationskonstante wird im Folgenden weggelassen )
Weil wir das Resultat der Aufgabe 2 bei der Lösung der Aufgabe 1
brauchen können, lösen wir zuerst Aufgabe 2
Aufgabe 2 : gesuchtes Integral J2
Der Integrand 1 / ( 1 - x ^ 2 ) wird in Teilbrüche zerlegt
durch den folgenden Ansatz:
1 / ( 1 - x ^ 2 ) = A / (1 + x) + B / ( 1 - x )
Auf der rechten Seite führen wir die Addition der Brüche durch ,
indem wir als neuen Nenner den Nenner der linken Seite schreiben.
Als Zähler des einzigen Bruches auf der rechten Seite erhalten wir:
A* ( 1 - x ) + B* ( 1 + x ) = ( B - A ) * x + A + B.
Dieser Zähler muss mit dem Zähler links, d.h. mit 1 identisch sein;
das geht nur, wenn B - A null und A + B eins ist
Daraus berechnen wir A und B ; wir erhalten:
A = B = ½.
Somit (gliedweise integrieren, d.h. J2 als Summe zweier Integrale darstellen)
J2 = int [ dx / (1 - x ^ 2 )] = int [ ½ * dx / (1+x)] + int [½* dx / (1 - x ) ]
= ½ { ln (1+x ) - ln (1-x )}
(Achtung auf das Vorzeichen, Probe durch Ableiten, Kettenregel beachten!)
J2 = ½ * ln [(1+x) / (1-x)] als Schlussresultat für J2.
um ganz korrekt zu sein, sind die Terme beim ln mit Absolutstrichen einzurahmen.
Es sei noch vermerkt, dass das Resultat gerade die Areatangens -Funktion darstellt; dies zu wissen, ist für Dich aber nicht wesentlich.
Fortsetzung im Laufe der Zeit !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Juni, 2000 - 10:38: |
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Hi Julia,
Zur Lösung der ersten Aufgabe benützen wir das Ergebnis der
zweiten Aufgabe .
Beim Integral J1 hilft zunächst die Substitution
wurzel (x) = u , also x = u ^ 2 weiter.
Für die Differentiale dx und du erhalten wir die Beziehung
dx = 2 * u * du, wie aus der Ableitung von u ^ 2 nach x ersichtlich ist:
Es gilt ja : dx / du = 2 * u
Unser Integral J1 lautet in der neuen Integrationsvariablen u so :
J1 = 2 * int [u ^ 2 / ( 1 - u ^ 2) * du ]
Im Zähler steht eine quadratische Funktion in u , im Nenner auch;
daher müssen wir noch ausdividieren. Das geht so:
u ^ 2 / (-u^2 +1) = -1 , Rest 1,somit: u ^ 2 / (-u^2 +1) = -1 + 1/(1 - u^2)
also gilt für J1:
J1 = 2 * { int [-du] + int[ du / (1 - u ^ 2)] }
Das zweite Integral rechts ist nun aber neckischerweise das Integral
der Aufgabe 2 ,
nur steht an Stelle der Variablen u dort die Variable x
Wir bekommen dank unserer Vorarbeit:
J1 = 2 * { - u + ½ * ln [(1 + u) / ( 1 - u)] } (Absolutstriche im ln hinzufügen!)
Das Schlussresultat erhalten wir, wenn wir die Substitution noch
rückgängig machen
J2 = - 2 * wurzel(x) + ln [(1+ wurzel(x)) / ( 1 - wurzel(x)) ]
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Juni, 2000 - 08:29: |
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An alle Fans von Integralen
Das vierte Integral J4 ist das schwierigste von allen, bietet aber
eine gute Gelegenheit , wichtige Aspekte der Integralrechnung zu üben
Im Sinne einer Vorbereitung berechnen wir das Integral
H = Int [dx / ( x ^ 2 + x + 1) ]
Man sieht sofort, dass die Lösung auf die Arcustangens-Funktion
führen wird.
Wir formen so um, dass der Integrand (nach erfolgter Substitution)
die Form 1 / ( z ^ 2 + 1) annimmt.
Wir erhalten aus dem Integranden der Reihe nach:
1 / ( x ^ 2 + x + 1 ) = 1 / [( x + ½ ) ^ 2 + ¾ ] =
1 / { ¾ * [ 4/3 * ( x + ½ ) ^ 2 + 1 ] }
Naheliegend ist die Substitution:
( 2* x + 1 ) / wurzel (3) = z , somit dx = dz * wurzel (3) / 2
Das Integral H in der neuen Variablen z lautet:
H = 4/3 * wurzel (3) / 2 * int [ dz / ( z ^ 2 + 1) ] =
= 2 / wurzel (3 ) * arc tan z ; Substitution rückwärts:
= 2 / wurzel (3) * arc tan {(2*x+1) / wurzel (3) } (Formel H)
Zur Lösung des Integrals J4 zerlegen wir den Integranden
in Partialbrüche:
1 / ( x ^ 3 -1 ) = 1 / { ( x -1 ) * ( x ^ 2 + x + 1) } =
= A / ( x - 1 ) + ( B * x + C ) / (x ^ 2 + x + 1 )
Schreibt man die rechte Seite als einen einzigen Bruch mit dem Nenner
der linken Seite und führt einen Koeffizientenvergleich durch,
so erhält man für A , B , C die Gleichungen:
A + B = 0 , A + C - B = 0 , A - C = 1
Daraus: A = 1/3 , B = - 1/3 , C = - 2/3 .
Dies setzen wir oben ein und erhalten mit zweckmässiger Umformung
beim mittleren Integral:
J4 = 1/3 * int [ dx / (x - 1 ) ] -1/3 * {1/2* int [ (2x+1) / (x^2 + x + 1) * dx]
- 1/2 * int [ dx / (x ^2 + x + 1 )] ;
das letzte Integral ist das oben berechnete Integral H
Wir erhalten das Schlussresultat:
J4 = 1/3 * ln ( x - 1 ) - 1/6 * ln ( x ^ 2 + x + 1 )
- 1 / wurzel(3) * arc tan { (2 * x + 1 ) / wurzel(3) } + C
Unter dem ersten ln sind noch Absolutstriche zu setzen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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