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Beitrag |
    
Kickie
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 19:44: | 
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Hi ihrs!
Wir haben das diesjährige Abi als Hausaufgabe aufbekommen und da bin ich in ein zweifelhaftes
Problem gekommen!!
Die Fkt. lautet: f(x)=5(sin(2x)+cos(2x)
Hierzu sind die Nullstellen gesucht.
Dafür gibt es mittels Additionstheoreme 2 verschiedene Lösgswege.
1) 0=5(sin(2x)+cos(2x) /:5 / cosx=wurzel(1-sin^2(2x))
0=cos(2x)+wurzel(1-cos^2(2x)) / -wurzel... / quadrieren
1-cos^2(2x)=cos^2(2x) / +cos... / :2 /wurz. ziehen
+-wurzel(1/2)=cos2x
wenn ich das weiter auflöse erhalte ich
x1=0,39 & x2=1,18 wobei nur ersteres korreckt ist
2) 0=5(sin(2x)+cos(2x)) /:5 /-sin(2x) /:cos(2x)
1=-(sin(2x)/cos(2x) /Tanx=.. /:-1
tan2x=-1
wenn ich das weiter auflöse erhalte ich als Lösungen
x1=3pi/8 & per Perioditität x2=7pi/8
Wobei nun beide Ergebnisse zutreffen
Woher kommt dieser Unterschied? Wo ich doch bei beiden keine ersichtlichen Fehler gemacht habe, oder?
Kann mich wer aaufklären...
Voraus Danke
Tschau Kickie |
Kai
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Juni, 2000 - 22:37: |
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Die Funktion hat unendlich viele Nullstellen, deshalb überrascht es mich nicht, wenn Du 4 dafür angeben kannst (ohne daß ich die selbst berechnet habe)
Kai |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juni, 2000 - 01:17: |
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Hallo allerseits!
Nur für den Fall, dass es jemanden interessiert: Die Funktion f lässt sich ohne Verlustumformung umschreiben als:
f(x)=5*Wurzel(2)*cos(2x-pi/4)
f ist 0, wenn cos(2x-pi/4) 0 ist, und der Cosinus hat seine Nullstellen immer dann, wenn das Argument ein ungerades Vielfaches von pi/2 ist. Demnach muss 2x-pi/4=(2n+1)pi/2sein.
Somit ergibt als allgemeine Nullstellenformel:
x = pi/8(4n+3), wobei n alle ganzen Zahlen annehmen darf (positiv, negativ oder 0).
Kickie, ob Deine Lösungen ebenfalls dabei sind, habe ich noch nicht überprüft. Aber, wie schon Kai gesagt hat, es gibt unendlich viele Lösungen und Du hast in Deiner Rechnung öfters Umformungen gemacht, die Lösungen verlieren, z.B. cos2x=Wurzel(1-sin²2x), was nur gilt, wenn cos2x>0 ist. Und außerdem: f(x)=cosx ist NICHT umkehrbar, d.h. die Gleichung cosx=a hat immer entweder GAR KEINE oder UNENDLICH VIELE Lösungen, niemals aber nur eine oder 2. Man darf also nicht einfach den x=arccos(a) berechnen, denn das gibt immer nur eine.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen!
Ciao
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juni, 2000 - 01:26: |
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Ergänzung: Das Ergebnis aus Lösungsweg 1) x=+0,39 ist nicht dabei, aber -0,39 ist eine Nullstelle. In meiner Lösungsformel enthalten für n=-1 => x=pi/8(-4+3)=-pi/8 ist ungefähr -0,39
Die beiden Nullstellen aus Lösungsweg 2) ergeben sich für n=0 und n=1.
Ciao
Cosine |
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