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Kati
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 12:07: | 
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Wer kann mir bei der Lösung folgender Integrale helfen?
Bin schon echt verzweifelt. Ich war eigentlich der Meinung die Integralrechnung verstanden zu haben, und dann bekomme ich solche Aufgaben.
1.) Ich soll die Fläche und die Länge der folgenden in Polarkoordinatenform gegebenen Funktion berechnen.
r=2a*(1+cos(phi) -Pi<=(phi)<=Pi
Die Formel zur Berechnung der Fläche lautet:
(1/2)*Integral(r^2)*d(phi)
Nach Einsetzen und vereinfachen erhält man:
(1/2)*Integral(4*cos(phi)^2+8*cos(phi)+8)*d(phi)
Und hier komme ich nicht weiter.
Bei der Berechnung der Länge komme ich dann auf folgendes Integral:
Integral(SQRT(8*cos(phi)+8)*d(phi)
Hier komme ich ebenfalls nicht weiter.
Ich hoffe, daß ich bis hier ersteinmal richtig liege.
2.)Vor ein weiteres Problem stellt mich das folgende bestimmte Integral:
Integral(3*cos(x)^2+cos(x)^3-1)*dx
wobei die untere Grenze 0 und die obere Grenze 2*Pi ist.
Für jegliche Hilfe bedanke ich mich schon im voraus. Diese Integrale machen mich noch wahnsinnig. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 15:10: |
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Hi Kati,
Bei der Lösung der ersten Aufgabe, der Berechnung der Fläche und des Umfangs der Kardioide bist Du auf gutem Wege.
Nur hast Du die Konstante a entweder vergessen oder einfach 1 gesetzt, das
ist nicht weiter schlimm.
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Für die Integration musst Du Dir zwei Sachen in Erinnerung rufen.
1. Das Integral über [cos( phi) ] ^ 2 ist ½ * [phi + sin (phi) * cos (phi)] Diese Formel ist in letzter Zeit im Board mehrfach aufgetaucht und bewiesen worden.
2. Aus der Goniometrie brauchen wir die Formel:
1 + cos (phi) = 2 * [ cos( phi / 2 ) ] ^2 ; damit bringst Du die Quadratwurzel weg. Versuche es !
Die Resultate sind:
Fläche A = 6*Pi*a^2
Umfang U = 16 a
Ich komme nötigenfalls auf die Angelegenheit zurück
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 16:11: |
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Hi Kati,
Zu Deinem Glück fehlt nicht mehr viel. Jedenfalls verhelfe ich Dir bei Deinem zweiten Problem zu einem AHA-Erlebnis:
Das Integral über Cosinusquadrat kennst Du nun;
ich zeige Dir ,wie man das Integral über Cosinus hoch drei rechnet;
das ist ,wenn möglich, noch einfacher:
int [(cos x) ^ 3 *dx ] = int [{ 1 - (sin x) ^2} * cos x *dx] =
int [cos x * dx ] - int [(sin x) ^2 * cos x * dx ] =
sin x - 1/3 * (sin x) ^ 3 ( mache die Probe durch Ableiten )
Notfalls hätte man sin x = z , cos x * dx = dz substituieren können
Eine Stammfunktion zu Deinem Integral wäre:
3/2*(x + sin x * cos x) + sin x -1/3 * ( sin x ) ^ 3 - x
Setzt man die genannten Grenzen ein, so erhält man als Wert des bestimmten Integrals
Justement Pi
Mit freundlichen Grüssen
H.R,Moser,megamath. |
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