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Prittstift
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 13:49: | 
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Hallo ,
ich habe hier zwei Aufgaben die mir zu schaffen machen :
Stammfunktionen von :
1) Wurzel aus (4-x^2) / x^2
2) (2-x) / (1+Wurzel aus x)
Gibt es zufällig irgendeinen Trick bei diesem Aufgabentyp ?
Vielen Dank für Ansätze
Alexander |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 21:36: |
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Hi Alexander,
Zur Zeit der Sommersonnenwende feiern die Integrale Urständ, und es kann durchaus passieren, dass man lange auf eine Lösung warten muss.
Ich möchte mich im Namen des Hauses für diese Inkommodität entschuldigen.
Die Zeit reicht gerade, Dein zweites Integral in Angriff zu nehmen,
als pars pro toto gewissermassen.
Durch die Substitution wurzekl (x) = t , x = t ^ 2, dx = 2* t * dt
erreichen wir, dass der ganze Integrand wurzelfrei wird
und damit eine rationale Funktion in t darstellt.
Es kommt:
J = 2 * int [(2 - t ^ 2) * t / (1 + t ) * dt ]
Der Integrand ist eine unecht gebrochene rationale Funktion, die wir in eine ganze Funktion (Polynom vom Grade zwei) und in eine echt gebrochen
rationale Funktion zerlegen:
"Ausdividieren" gibt:
- t ^2 + t + 1 - 1 / ( t + 1)
Jetzt können wir gliedweise integrieren (die Zwei vor dem Integral nicht vergessen !); Ergebnis:
-2/3 * t ^ 3 + t ^ 2 + 2 * t - 2 * ln (t + 1 ) , (keine Absolutstriche beim ln nötig)
Substitution rückgängig machen
Schlussergebnis
J = - 2 / 3 * x * wurzel (x) + x + 2* wurzel x - 2 * ln [wurzel(x) +1] + C
Wenigstens soviel !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Juni, 2000 - 09:41: |
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Hi Alexander,
Auch Dein erstes Integral soll gelöst werden.
Wir beginnen mit einer einfachen Substitution als Initialzündung:
Mit x = 2 * z , dx = 2 * dz kommt
J = int [wurzel ( 1 - z ^ 2 ) / z ^ 2 * dz]
Jetzt kommt die partielle Integration zum Zug
int [ u * v ' * dx ] = u * v - int [ u ' * v * dx ]
mit v ' = 1 / z ^ 2 , somit v = - 1 / z
u = wurzel ( 1 - z ^ 2 ) , daraus u ' = - z / wurzel (1 - z ^ 2 )
Wir erhalten:
J = -1 / z * wurzel ( 1 - z ^ 2) + int [(1/z { - z / wurzel ( 1 - z ^ 2)}*dz]
= - 1 / z * wurzel (1 - z ^ 2 ) - int [ 1 / wurzel ( 1 - z ^ 2 ) * dz ]
= - 1 / z * wurzel (1 - z ^2 ) - arc sin z
Machen wir die Substitution rückgängig, so erhalten wir als Schlussresultat:
J = - 1 / x * wurzel ( 4 - x ^ 2 ) - arc sin (x / 2 ) + C
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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