| Autor |
Beitrag |
    
Thomas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 19:56: | 
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sos sos sos
seit tagen versuche ich schon diese integrale zu lösen aber leider hatte ich keinen erfolg
ich hoffe ihr könnt mir irgendwie helfen
(letzte rettung)
Integral 1/ Wurzel(9x#2-1)
Integral wurzel(3-(4+x)#2)
Integral 1/[ x#4* Wurzel(x#2-1)]
vielen dank Thomas |
Thomas
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 20:02: |
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die legende habe ich vergessen
x#2 = x hoch 2 |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 21:04: |
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Hallo Thomas,
Das erste:
I=ò 1/W(9x²-1)*dx
Trigonometrische Substitution:
Zeichne ein rechtwinkeliges Hilfsdreieck mit:
Kathete=1
Kathete=3x
Hypothenuse=W(9x²-1)
Winkel gegenüber 3x: q
Dann ist: 3x=tan(q)
dx=(1/3)/cos²(q)
eingesetzt:
I=(1/3)ò cos(q)/cos²(q)*dq=
=(1/3)ò 1/cos(q)*dq=
=(1/3)ln|1/cos(q)+tan(q)|=
=(1/3)ln|W(9x²-1)+3x|
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 22:31: |
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Hi Thomas ,
Bei SOS - Rufen ist jede Art Hilfe nützlich
Es ist Usus geworden, die etwas schwierigeren Integrale in ihrem Saft
schmoren zu lassen, die Schlussergebnisse als Schlafmittel noch vor Mitternacht zu veröffentlichen und darauf zu warten, dass anderntags Spezialisten den ausführlichen Lösungsweg vorführen werden
So auch dieses Mal.
Die Ergebnisse sind
Zum zweiten Integral:
J2 = [(1 + 2 * x ^ 2 ) * wurzel ( x ^ 2 - 1 )] / ( 3 * x ^ 3 ) + C
Zum dritten Integral:
Abkürzung:
W = wurzel ( -13 - 8 x - x ^ 2 )
J3 = ½* W * x + 2 * W + 3/2 * arc sin {1/3 * wurzel(3) * ( 4 + x ) } + C
à demain !
Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 11:14: |
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Hallo Thomas,
In meinem gestrigen Beitrag zum ersten Integral haben sich Fehler eingeschlichen. Ich habe nämlich gleichzeitig das Integral mit W(9x²+1) gerechnet und dann beim Abschreiben diese beiden Rechnungen gemischt. Das Endresultat stimmt zwar aber das beschriebene Hilfsdreieck muss folgendermaßen aussehen:
Hypothenuse=3x
Ankathete=1
Gegenkathete=W(9x²-1)
Winkel=q
Substitution:
W(9x²-1)=tan(q)=sin(q)/cos(q)
x=1/(3*cos(q)
dx=(1/3)*sin(q)/cos(q)*dq
ò 1/W(9x²-1)*dx=
=(1/3)ò cos(q)sin(q)/[sin(q)cos²(q)]*dq=
=(1/3)ò 1/cos(q)dq=
=(1/3)ln|1/cos(q+tan(q|)=
=(1/3)ln|3x+W(9x²-1)|+C
======================== |
H,R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 14:16: |
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Hi Thomas ,
Zunächst wollen wir Dein zweites Integral lösen ;
Voranzeige: Das Ergebnis lautet
Unter der Verwendung der Abkürzung:
W = wurzel ( -13 - 8 x - x ^ 2 ):
J2 = ½ * W * x + 2 * W + 3/2 * arc sin {1/3* wurzel(3) * ( 4 + x )} + C
Anmerkung : In der gestrigen Mitteilung habe ich die Nummern
der beiden Integrale verwechselt; das hat wahrscheinlich nicht gestört !
Wir wenden jetzt eine etwas ungewöhnliche Methode zur Herleitung an,
indem wir beabsichtigen , durch eine geeignete lineare Transformation
x = r * z + s (Transformation T )
das gegebene Integral im Wesentlichen auf das Kreisintegral
K = int [wurzel (1 - z ^ 2 ) * dz ] zurückzuführen.
In letzter Zeit trat dieses Integral oft in Hauptrollen auf und gibt Anlass
zu der sog. trigonometrischen Substitution z = sin t , dz = cos t * dt.
Wir wiederholen das Verfahren
Aus dem Integral mit der Variablen z wird durch die Ausführung der
trigonometrischen Subst.:
K = int [ ( cos t ) ^ 2 * dt ] = ½ * { t + sin t * cos t } und in der Variablen z :
K = ½ * { arc sin z + z * wurzel ( 1 - z ^ 2 ) } Formel (I)
Nun soll die Funktion in x, welche im Radikand der Wurzel auftritt, nämlich
G(x) = -13 - 8 x - x ^ 2 mit der oben erwähnten Transformation T so umgeformt werden, dass G in z die Gestalt G = k* ( 1 - z ^ 2 ) annimmt ; (Gleichung II)
dabei ist k eine zu bestimmende Konstante
Wir setzen T in die Gleichung für G ( x ) ein und erhalten:
- 13 - 8 * ( r * z + s) - ( r * z + s ) ^ 2 = (geordnet nach Potenzen in z):
- r ^ 2 * z ^ 2 - ( 8 * r + 2 * r * s ) * z - 13 - 8 * s - s ^ 2;
dies wird zum Zweck eines Koeffizientenvergleichs mit dem Term
G = k - k * z ^ 2 gleichgesetzt .
Der Vergleich der Koeffizienten ergibt die drei Gleichungen:
- r ^ 2 = - k
- 8 r - 2 r s = 0
- 13 - 8 * s - s ^ 2 = k
Daraus ergeben sich die folgenden Werte für die drei Unbekannten:
r = - wurzel(3) , s = - 4 , k = 3
Die Substitutionsgleichung T lautet daher:
x = - wurzel (3) * z - 4, für die Differentiale kommt dx = - wurzel(3) * dz
und das gegebene Integral in x geht über in das Integral in z:
J2 = int [wurzel ( k - k * z ^ 2 ) * {-wurzel(3)}*dz] = (mit k = 3)
= - 3 * int [ wurzel (1 - z ^ 2) * dz ] ; (nach Formel 1):
= - 3 / 2 * { z * wurzel ( 1 - z ^ 2) + arc sin z} ;
Rückgängigmachen der Substitution ( z = - (x + 4 ) / wurzel (3))
ergibt:
J2 = 1 / 2 * (4 + x ) * W + 3/2 * arc sin [(x+4) / wurzel(3)],
mit W = wurzel ( -13 -8 * x - x ^ 2 );
dies stimmt mit der eingangs erwähnten Lösung überein.
Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 21:18: |
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Hi Thomas,
Für die Lösung Deines dritten Integrals J3 führe ich Dir zwei
verschiedene Methoden vor
Erste Methode :
Benützung einer Rekursionsformel
Diese lautet:
Int [ dx / {x ^ m * wurzel (x ^ 2 -1)}] = wurzel (x^2-1) / {(m-1)*x ^ (m-1}
+ (m-2) /(m-1) * int [dx / {(x ^ (m-2) * wurzel (x ^ 2 - 1)}]
m = 2 , 3 , 4 .. Die Formel lässt sich mit vollständiger Induktion
nach m beweisen.
Wir setzen zunächst m = 4 und haben auf der linken Seite Dein
Integral J3 , also:
J3 = wurzel (x ^ 2 - 1) / (3*x ^3) + 2 / 3 * int [dx /{x^2 * wurzel (x^2 - 1)}]
Zur Ermittlung des Integrals auf der rechten Seite setzen wir m = 2
und erhalten:
J3 = wurzel( x ^2 - 1 ) / (3*x^3) + 2 / 3 * [ wurzel ( x^2 - 1 ) / x + 0 ],
somit:
J3 = wurzel( x ^ 2 - 1 ) / ( 3*x ^3 ) + 2 / (3 * x ) * wurzel ( x^2 - 1 )
Schlussergebnis:
J3 = wurzel( x ^ 2 -1 ) / (3 * x ^ 3) * ( 1 + 2 * x ^2 ) + C
Fortsetzung mit Methode II folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 22:22: |
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Hi Thomas,
Es folgt eine zweite Methode zur Ermittlung des Integrals J3 :
Zweite Methode : Rationalisierung
Wenn der Integrand eine rationale Funktion in x und in wurzel (x^2 - 1 )
ist ( Wortlaut beachten !) ,
so lässt sich durch die Substitution
Wurzel [(x -1) / (x +1 )] = t { Formel (S) }
ein Integral erzeugen, dessen Integrand eine rationale Funktion in t ist
Die notwendigen Umrechnungen von x zu t und umgekehrt,
inklusive der Beziehungen zwischen dx und dt lauten:
x = ( 1 + t ^ 2 ) / ( 1 - t ^ 2 ); daraus folgt mit der Quotientenregel:
dx = 4 * t / [(1 - t ^2 ) ^ 2 ] * dt ; ferner gilt:
wurzel ( x ^ 2 - 1 ) = 2 * t / ( 1 - t ^ 2 )
N.B. alle Terme ,insbesondere auch der letzte, sind rational in t ,
und das war der Zweck der Uebung
Setzt man das alles in das gegebene Integral ein, so kommt: nach gehöriger Vereinfachung,
J3 = 2* int [ {( 1- t ^ 2 ) ^ 3 / (1 + t ^ 2 ) ^ 4}* dt ] = U(t)
Eine Berechnung auf einem Extrablatt, das wir nach Gebrauch wieder wegwerfen, liefert für H (t):
H(t) =2*{ 4/3 * t / ( 1 + t ^ 2 ) ^3 - 4/3 * t / (1 + t^2 ) ^2 + t / (1 + t ^2) } Jetzt machen wir nach und nach die Substitution rückgängig und
beachten, dass 1 + t ^ 2 = 2 * x / ( x + 1 ) gilt ; es kommt der Reihe nach:
J3 = 2* t / x* ( x+1)*{ (x+1)^2 /(6* x ^ 2) - (x+1 ) / (3 * x) + 1 / 2 } =
= [t * (x + 1 ) / ( 3 * x ^ 3 )] * {2 * x ^ 2 + 1 }
Ersetzt man nun noch t durch [wurzel (x-1) / wurzel ( x + 1 )], so erhält man schliesslich dasselbe Resultat wie mit der ersten Methode.
Damit hat es sich wohl .... Darf ich eine Reaktion erwarten ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 11:13: |
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nicht schlecht ich kann nur hoffen ,daß sowas in meiner klausur nicht dran kommmt.
danke ,daß du dir die arbeit gemacht hast
thomas |
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