| Autor |
Beitrag |
    
Rübezahl :-
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 19:30: | 
|
Gegeben ist das Dreieck ABC durch die Punkte A(-1/4/3), B(-4/2/1) und C(6/-2/7).
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
Im Buch steht folgende Lösung:
Flächeninhalt= 0,5 * VektorAB * VektorAC * sinGamma
Ergebnis= ca. 18,9 Flächeneinheiten
Meine Frage: Wie kommt man auf die Formel, die im Buch angegeben ist?
Warum lautet die Rechnung nicht so wie sonst:
Flächeninhalt= 0,5 * Grundseite * Höhe ??
P.S.: * steht für "mal"
Es wäre nett, wenn mir jemand möglichst schnell die Antwort senden könnte!
Vielen Dank schon einmal im Voraus! |
Dreieck
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 00:19: |
|
Die Formel "wie sonst" stimmt auch hier, nur hast Du die Höhe ja gar nicht gegeben.
Deshalb nimmt man die Sinusformel.
Ist es klar, wie Du den Winkel berechnest?
Der Spezialfall Winkel=90 wäre ein rechtwinkliges Dreieck, der Sinus ist dann 1. |
Dreieck
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 00:21: |
|
Viel Glück für die Prüfung! |
Rübez@hl
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 12:07: |
|
Vielen Dank für die Hilfe,
aber mir ist ehrlich gesagt nicht klar, wie ich den Winkel berechenen muss.
Es wäre nett, wenn mir das noch jemand erklären könnte und mir vielleicht auch die Sinus-Formel nennt.
Vielen Dank wieder im Voraus. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. Juni, 2000 - 13:39: |
|
Hallo Rübezahl,
Wenn die von dir angegebene Lösungsformel für den Dreiecksinhalt wirklich in deinem Buch steht, solltest du es besser wegwerfen.
Zu deinem Beispiel:
A=(-1,4,3)
B=(-4,2,1)
C=(6,-2,7)
Wir ermitteln die Vektoren AB und AC:
AB=B-A=(-3,-2,-2)
AC=C-A=(7,-6,4)
Den Winkel bei A bezeichne ich lieber mit alpha (und nicht mit gamma, wie in deinem Buch).
Den Winkel zwischen 2 Vektoren errechnet mit Hilfe der Definition des skalaren Produktes:
AB.AC=|AB||AC|cos(a)
daraus:
cos(a)=AB.AC/[|AB||AC|]
===============================
Wir brauchen also noch die Bträge von AB und AC:
|AB|=Wurzel(3²+2²+2²)=W(17)=4,123...
|AC|=Wurzel(7²+6²+4²)=W(101)=10,05...
AB.AC=(-3,-2,-2).(7,-6,4)=-17
cos(a)=-17/(W(17)W(101)=-0,41026...
und mit einem Taschenrechner den Winkel (den wir aber nicht benötigen) und den sin(a)=0,911966... (den wir benötigen).
Die Dreieckfläche ist dann:
A=½*|AB||AC|sin(a)
Wie du siehst: die einzelnen Faktoren sind keine Vektoren!
A=½*4,123*10,05*0,9119=18,89...
================================
Fall du schon das vektorielle Produkt gelernt hast, kannst du schneller rechnen mit
A=½|AB x AC|
=============
weil:
|AB x AC| = |AB||AC|sin(a) |
|
