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Beitrag |
    
Ralph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. April, 1999 - 16:03: | 
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wie berechne ich die fläche eines kreissektors?
ich brauche eine herleitung und keine fertige formel.
meine idee wäre die fläche eines kreises herzuleiten und dann einfach die kreisformel mit alpha/360° zu multiplizieren oder wie macht man das? |
Tim
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. April, 1999 - 18:28: |
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eine einfache Herleitung ist folgende (allerdings ist das eine geometrische und keine analytische Lösung):
der Kreisumfang u verhält sich zu einem Umfang-Abschnitt (Kreisbogen b) wie der Vollkreis (360°) zum Winkel alpha
u/b = 360°/alpha
dann ist b = u*alpha/360°
andererseits ist:
u=2*pi*r (r = Radius)
also ist:
b=2*pi*r*alpha/360°
oder:
b=pi*r*alpha/180°
die Flächen von Vollkreis und Kreissektor verhalten sich so:
A(sektor)/A(kreis)=alpha/360°
dann ist:
A(sektor)=A(kreis)*alpha/360°
andererseits ist:
A(kreis)=pi*r^2
also ist:
A(sektor)=pi*r^2*alpha/360°
das kann man auch schreiben:
A(sektor)=pi*r*r*alpha/180°*2
und zusammenfassen zu:
A(sektor)=(r/2)*(pi*r*alpha/180°)
weil nun:
pi*r*alpha/180° = b ist (siehe oben) gilt:
A(sektor)=r/2*b
und das ist die Formel, wie sie im Buch steht |
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