| Autor |
Beitrag |
    
Katja
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juni, 2000 - 17:26: | 
|
Hi,
ich soll folgende Funktion als Integralfunktion schreiben: f(x)=ln(3. Wurzel über x) ; x>0.
Danke |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 15:44: |
|
Hi Katja,
Vorerst müssen wir den Begriff "Integralfunktion" kurz in Erinnerung rufen:
Wenn in einem bestimmten Integral die untere Grenze a fest gehalten wird (konstant ist) und die obere Grenze x variabel ist, so ist dieses Integral eine Funktion F seiner oberen Grenze; für die Integrationsvariable schreibt man meistens t (statt x )
Eine Integralfunktion (gelegentlich auch Flächenfunktion genannt) sieht formal so aus :
F = F(x) = Int ( f(t) * dt ), untere Grenze a (konst), obere Grenze x
Es gilt der wichtige Satz, dass die Ableitung diese Integrals nach seiner oberen Grenze x gleich dem Integrand f , " genommen an der oberen Grenze ",
ist, also gilt; :
F ' (x ) = f ( x )
Bei Deiner Aufgabe müssen wir zwei Dinge suchen und finden:
die untere Grenze a und den Integrand f(t) des Integrals.
Den Logarithmus der dritten Wurzel aus x schreiben wir sofort als
1 / 3 * ln x und identifizieren dies als Funktion F(x),also:
F(x) = 1/3 * ln x
Somit:
F(x) = int [ f(t) *dt], untere Grenze a , obere Grenze x
Jetzt leiten wir diese Gleichung nach x ab und benützen dabei den oben erwähnten Satz.
F ' (x) = f(x) = 1/ ( 3 * x ) (rechts steht die Ableitung von 1/3 * ln x)
Damit haben wir f(x) gefunden; es gilt f(x) = 1 / (3*x)
Für x = a ist das Integral null, da dann die untere und obere Grenze zusammenfallen; andrerseits wird 1/ 3 * ln x für x = 1 null.
Die beiden Nullstellen müssen zusammenfallen, also gilt a = 1
Schlussresultat:
Die gesuchte Integralfunktion lautet :
F (x) = int [ 1 / ( 3 t ) * dt ] untere Grenze 1 , obere Grenze x.
Rechne dieses einfache Integral aus, und Du bekommst als Resultat:
1/3 * ln x , wie es sein muss
Kenner der Materie setzen in einfachen Fällen ohne Umschweife das Integral mit dem richtigen Integrand und der richtigen unteren Grenze sofort ,quasi instinktiv, an.
Vielleicht gelingt Dir das mit der Zeit auch!
Danke für die Geduld und freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
Alex
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. Juni, 2000 - 11:49: |
|
Hi
ich habe am Montag eine mündliche ABI-Prüfung, weiss aber bisher immer noch nicht wann man beim integrieren das Substituationsverfahren und wann die partielle Integration benutzen soll. Könnt ihr mir helfen?
Danke |
Kai
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. Juni, 2000 - 21:36: |
|
Das kann man allgemeingültig auch nicht beantworten. Das ist eine Mischung aus Erfahrung durch Übung und Glück.
Aber vom ersten Ansatz her würde ich bei verschachtelten Funktionen das Substitutionsverfahren bevorzugen.
Manchmal muß man sich durchprobieren.
Viel Glück bei der Abiprüfung!
Kai |
|
