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Kickie
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 16:08: | 
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Hi Leute!
Ich benötige die Stammfkt zu e^(-0,5x^2)!
Wie mache ich das?
Und weiter noch die Stammfkt für ln(x^2)
Vielen Dank für eure Hilfe... |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 22:50: |
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Hallo Kickie,
falls Dein erstes Integral so richtig ist, dann läßt sich zu diesem Integral, das man übrigens auch das "Gauß´sche Fehlerintegral" nennt (dann aber ohne die 0,5) keine Stammfunktion ohne weiteres finden. Konkret: Das Integral hat zwar nach dem Hauptsatz der Integralrechnung eine Stammfunktion, aber mit allen uns bekannten Mittel können wir diese so nicht ermitteln.
Trotzdem gelingt es, eine Stammfunktion, wenn auch nur approximativ anzugeben, indem man das Integral in eine Reihe entwickelt und dann integriert. Die Reihenentwicklung an sich wäre hier zu aufwendig, bei Bedarf kann ich Näheres gerne hier erläutern.
Zum zweiten Integral:
Mit einem kleinen Trick und anschließender Anwendung der Logarithmenregeln läßt sich dieses Integral rasch lösen:
1. Schreibe anstatt ln(x2) ln(x*x)
2. Wende auf (1.) die Logarithmenregel mit
ln (a*b) = ln a + ln b an. Es ergibt sich also
ln(x2)= ln x + ln x und der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen läßt sich leicht integrieren, indem man also gliedweise integriert. Das Integral von ln x ist übrigens J1 = x(ln(x)-1).
Für Dein Integral ergibt sich das doppelte, da zwei identische Integranden zusammengezählt werden, also J1 + J2 = Jgesamt = 2x(ln(x)-1))
Viele Grüße
 Oliver |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 00:02: |
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Hi Kickie, Hi Oliver!
Oliver, Deine Lösung zu ln(x^2) ist zwar nicht falsch und ich könnte mir gut vorstellen, dass sie vielleicht auch Kickie als Lösung ausreicht, aber sie gilt nur für positive x. Rein formal müssten Betragsstriche gesetzt werden, um negative x-Werte zuzulassen. Die korrekte Lösung wäre also
I_gesamt = 2x(ln|x|-1)
Hier ist der wunde Punkt in Deiner Rechnung:
Du wendest auf ln(x*x) das Logarithmengesetz:
ln (a*b) = ln a + ln b
an, das allerdings nur für a,b>0 gilt. x kann aber in der Ausgangsfunktion f(x)=ln(x^2) auch negativ sein. Deshalb dürfen wir dieses Gesetz nicht einfach so für alle x anweden. Das heißt, die Ausgansfunktion ist auch für negative Werte definiert, z.B. ln((-1)^2)=ln(1)=0, Deine Stammfunktion allerdings nicht.
Formal beheben lässt sich das Problem, indem man statt x^2=x*x einfach x^2=|x|*|x| schreibt, was ja auch x^2 gibt. Da |x| immer >=0 ist, lässt sich auf dieses Produkt die Logarithmenregel anwenden und wir erhalten:
ln|x|+ln|x| und fahren fort, wie bei Dir beschrieben.
Keine Betragsstriche bräuchte man z.B. bei dem Integral von ln(x^3), da hier auch die Ausgangsfunktion nur für positive x definiert ist.
((negativ)^3 = negativ, (negativ)^2=positiv)
Lange Rede, aber ich hoffe, Ihr habt ihren Sinn verstanden.
Ciao
Cosine |
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