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Peter
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 15:08: | 
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Hallo,
folgende Aufgabe soll gelöst werden:
Zeigen Sie, das die Funktion
f(x)= 1/2 ln(x+W(x2+1))
punktsymmetrisch ist. Dazu habe ich bereits einiges umgeformt, nur die Verfasser des Lösungsbuches haben einen Schritt in der Lösung verwendet, der mir (noch) unverständlich ist:
(I) f(-x)= 1/2 ln(-x+W(x2+1))
(das ist ja ok) aber dann wird umgeformt zu:
(II) f(-x)= ln((-x2+x2+1)/(x+W(x2+1))
alle weiteren Schritte sind mir dann wieder einleuchtend, auch die Umformung von (I) nach (II) habe ich auf Richtigkeit geprüft. Nur: Wie kommt man dahin, bzw. wie erklärt man diese Umformung?
Vielen Dank im Voraus!
Peter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 19:02: |
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Hi Peter
Den Faktor ½ bei f(x) lassen wir weg; er ist für die
Symmetrieeigenschaft irrelevant.
Wir betrachten bloss f(x) = ln (x + wurzel (x^2 + 1 ))
f(x) stellt die Areassinus -Funktion dar .Diese Funktion ist
für alle reellen x-Werte definiert und ist eine ungerade Funktion.
M. a.W: der Graph ist zentralsymmetrisch mit dem Nullpunkt O als
Symmetriezentrum.
Der Nachweis ist sehr einfach: es ist bloss nachzuweisen, dass
für alle x die Beziehung f(x) + f(-x) = 0 gilt
Rechne ! (Benutze dabei einen bekannten Satz über Logarithmen)
f (x) + f (-x) =
ln{ x + wurzel(x^2 +1)} + ln{ - x + wurzel(x^2 +1)}
= ln [wurzel( x^2 +1) + x ) * wurzel( x^2 +1) - x )] =
ln [x ^ 2 + 1 - x ^ 2] = ln 1 = 0 wzbw
(wir haben die elementare Formel (a+b)*(a-b) = a^2 - b^2 benützt,
und alles hat sich in Minne aufgelöst; bravo!)
Mit freundlichen Grüßen |
Peter
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 22:33: |
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Hallo H.R. Moser,
recht vielen Dank für die tolle Beantwortung meiner Frage, es ist alles für mich sofort einleuchtend gewesen. Allerdings stellt sich für mich immernoch die Frage, wie die Verfasser des Lösungsbuches auf genau diese Umformung in meiner ersten Nachricht gekommen sind.
Vielleicht könnten Sie ja noch ein paar Zeilen darüber philosophieren, es würde mir sehr helfen.
Vielen Dank
Peter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juni, 2000 - 06:44: |
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Hi Peter,
Für die Aufklärung Deines Problems benötigen wir keine Philosophie;
eine kurze Meditation genügt.
Es handelt sich um eine elementare Bruchrechnung im Zusammenhang
mit Quadratwurzeln; den Kern des Problems führe ich Dir anhand eines einfachen Beispiels vor; die Logarithmen werden nicht benötigt.
Gegeben sei der Term T = A + Wurzel ( B )
Wir Schreiben T als Bruch mit dem Nenner 1
T = [A + Wurzel ( B )] / 1 ;
wir erweitern diesen Bruch mit dem " konjugierten Wert " des Zählers,
d.h. mit [A - Wurzel ( B )] ; aus T wird nun der Reihe nach:
T = {[A + Wurzel ( B ) ] * [ A - Wurzel ( B ) ] } / [ A - Wurzel ( B ) ]
= [ A ^ 2 - B ] / [A - Wurzel ( B ) ]
Ich glaube, dass Du ohne Schwierigkeiten A und B mit den Werten in
Deiner Aufgabe identifizieren kannst.
Das wär's: ein ziemlich weich gekochtes Ei des Kolumbus !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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