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Matrizen, Beweis

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Beweisführung » Matrizen, Beweis « Zurück Vor »

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Dorothea
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Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 10:05:   Beitrag drucken

Hallo.

M ist die Menge der Matrizen der Form


A= (1/a/b)
(0/1/c)
(0/0/1)

mit a, b, c Element des reelen Raumes.


Es soll bewiesen werden:

1)
Wenn A,B Element von M => A mal B Element von M


2) Wann ist A mal B = B mal A


und drittens


Man suche zu jeder Matrix A die zugehörige Matrix

Â.


A mal  =


(1/0/0)
(0/1/0)
(0/0/1)

Wahrscheinlich ist das mit dem Dach das Inverse gemeint?
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Fußballer
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Veröffentlicht am Samstag, den 17. Juni, 2000 - 23:28:   Beitrag drucken

Berechne A*B (Matrizenmultiplikation). Dann kannst Du es keicht sehen, ob es die verlangte Form hat oder nicht.
Dann berechne B*A und setze die Einträge gleich denen von A*B, dann erhälst Du die Bedingungen.
Für die Inverse: Hattet ihr ein Verfahren dafür (Algorithmus)? Da gibt es nämlich ein nettes.
Ansonsten nehme eine Matrix mit unbekannten a1 bis a9 und multipliziere sie mit A. Dann hast Du wieder 9 Gleichungen zum Lösen.
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Dorothea
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Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 06:37:   Beitrag drucken

Wie geht das Algorithmus- Verfahren?
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ari
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Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juni, 2000 - 11:28:   Beitrag drucken

Hi Dorothea, ein Verfahren geht so (vielleicht meint das der Fußballer): schreibe neben Deine Matrix die Einheitsmatrix.

Deine Matrix......|Einheitsmatrix

Dann formst Du schrittweise beide Matrizen so um, daß aus Deiner matrix die Einheitsmatrix wird. Die rechts stehende Matrix (ursprünglich die Einheitsmatrix) ist dann die inverse Matrix. Bei Deiner Aufgabe sieht das so aus (die Punkte dienen nur dazu, die Zahlen / Buchstaben auszurichten):

1...a...b...|1...0...0
0...1...c...|0...1...0
0...0...1...|0...0...1

Nimm die dritte Zeile mit "-c" mal und addiere zur zweiten Zeile

1...a...b...|1...0...0
0...1...0...|0...1...-c
0...0...1...|0...0...1

Nimm die zweite Zeile mit "-a" mal und addiere zur ersten Zeile

1...0...b...|1...-a...ac
0...1...0...|0...1...-c
0...0...1...|0...0...1

Nimm die dritte Zeile mit "-b" mal und addiere zur ersten Zeile

1...0...0...|1...-a...ac-b
0...1...0...|0...1...-c
0...0...1...|0...0...1

Links steht jetzt die Einheitsmatrix, rechts steht die inverse Matrix (Zeile 1, Spalte 3 hat den Wert "a*c - b")

Zu Deinen anderen Fragen:

1) Wenn A und B aus M, so auch A*B. Das heißt, daß auch in A*B in der Diagonalen von links oben nach rechts unten lauter Einsen stehen und darunter lauter Nullen (über der Diagonalen kann stehen was will). Man kann natürlich sein Hirn ausschalten und stur ausrechnen, wozu wir wegen Frage 2 LEIDER gezwungen sind:

2) Wann ist A*B = B*A ?

A ist die Matrix
1...x...y
0...1...z
0...0...1

B ist die Matrix
1...X...Y
0...1...Z
0...0...1

Dann ist A*B die Matrix
1...X+x...Y+xZ+y
0...1...Z+z
0...0...1

und B*A die Matrix
1...X+x...Y+Xz+y
0...1...Z+z
0...0...1

Damit ist Frage 1 beantwortet. Zu Frage 2: beide Matrizen unterscheiden sich schlimmstenfalls in Zeile 1, Spalte 3. Gleichheit besteht, wenn

Y+xZ+y=Y+Xz+y
xZ = Xz
x/z = X/Z
Das heißt x,z in A können verschieden von X,Z in B sein, aber als BRÜCHE sind sie GLEICH. Etwa

x=3, z=5 und X=6, Z=10. X/Z = 6/10 = 3/5 = x/z.

y und Y können frei gewählt werden.

Aber es bleibt eine öde Rechnerei.
Ciao.
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Dorothea
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. Juni, 2000 - 10:35:   Beitrag drucken

Hallo

mein Lehrer sagt, daß das ohne lange Rechnereich lösbar ist.

wer weiß wie man elegant dahin kommt, so drückt er sich aus.

Hallo Ari

wwieso kann ich von meiner Matrix direkt auf die

Einheitsmatrix springen. Ist das immner die
die in der diagonalen nur einsen stehen hat?
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ari
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Veröffentlicht am Montag, den 03. Juli, 2000 - 08:26:   Beitrag drucken

Hallo Dorothea,
sorry, habe Deine Antwort nicht gelesen und jetzt hast Du wahrscheinlich schon Ferien ....

Die Einheitsmatrix ist IMMER die Matrix, die in der Hauptdiagonalen (d.i. von links oben nach rechts unten) lauter Einsen, ansonsten nur Nullen hat. In IR^2 = IR x IR:

1...0
0...1

In IR^3 = IR x IR x IR:

1...0...0
0...1...0
0...0...1

Die Einheitsmatrix ist gerade so gestrickt, daß sie folgende Bedingung erfüllt:

A * Einheitsmatrix = Einheitsmatrix * A = A.

(Falls Dir das nicht klar ist, probier es mit einer Matrix A wie z.B.

1...2...3
4...5...6
7...8...9

aus). Das Ganze ist vergleichbar mit der Zahl 1 bei der normalen Multiplikation.

Das Schema zur Bestimmung einer inversen Matrix ist lediglich EINES von mehreren möglichen. In Analogie zu den "gewöhnlichen" Brüchen bedeutet das Inverse nichts anderes als den Kehrwert eines Bruches. Allerdings: zu jedem Bruch ungleich Null gibt es einen Kehrwert - und das gilt KEINESFALLS für Matrizen. Eins von mehreren Kriterien: wenn die Determinante einer Matrix A UNGLEICH NULL ist, hat A eine inverse Matrix A_inv. Und das heißt dann bzgl. der Multiplikation:

A * A_inv = A_inv * A = Einheitsmatrix

Hoffentlich war das erhellend, nicht verwirrend. Ciao.
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Christian
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juli, 2000 - 13:46:   Beitrag drucken

Hallo Ari kannst du von folgender Matrix die Inverse schrittweise berechnen.

Ich habe es mit dem oberen Algorithmus versucht,

kamm aber nicht weiter, also N ist :


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