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Beitrag |
    
Sara
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 08:58: | 
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f(x)=-2/x2
Gesucht ist die Stammfunktion von f, die durch folgende drei Punkte geht: A(-1,-1),B(1,1),C(2,0)
Wie geht das? |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 13:34: |
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Hallo Sara,
zur Lösung Deiner Aufgabe wollen wir die Funktion f(x) zunächst integrieren. Dies ist sehr einfach, wir erhalten als Stammfunktion dann
F(x)= 2/x
Ermittelt wurde diese Stammfunktion durch "Rückwärtsanwendung" der Regel zum Differenzieren von einfachen Potenzfunktionen. Dies ist eine der ersten Integrationsregeln. Sollte Dir diese Regel noch nicht bekannt oder nicht verständlich sein, so will ich sie hier kurz nocheinmal anführen:
Gegeben sei die Funktion y = xn
Differenzieren wir die Funktion auf beiden Seiten, dann ergibt sich ja nach der bekannten Regel zum Differenzieren von Potenzfunktionen
y'= n * xn-1
Betrachen wir doch einmal die Funktion F(x) als y, also als xn. Das ist möglich, weil sich der Term 2/x auch als 2*x-1 schreiben läßt. Dann ergibt sich doch
y = 2*x-1 und abgeleitet ist das
y' = - 2 * x-1-1 also
y' = - 2 * x-2
Auch das können wir wieder umschreiben, nämlich zu
y' = -2/x2 und das erinnert Dich sicherlich an die Funktion in Deiner Aufgabenstellung. Weil die Integration die Umkehrung des Differenzierens ist (und umgekehrt) liegt es doch nahe, auf die Funktion F(x) - auf die es ja hier angkommt - doch die "umgekehrte" Anwendung der Differenzierungsregel für Potenzfunktionen zu gewinnen. Dort wurde der Exponent n vor das x gezogen (sprich: multipliziert)und dann das n um eine Einheit verringert, also n-1.
Jetzt gehen wir den umgekehrten Weg. Dazu greifen wir die Funktion y' bzw. Dein f(x) heraus. Zuerst addieren wir eine Einheit zum n dazu, also n+1 (-2+1=-1) und anschließend dividieren wir den gesamten Term durch n+1 (-1) also [2*x-1/(-1) = -2*x-1]
Und der Term rechts hinter dem Gleichheitszeichen ist unsere gesuchte Stammfunktion F(x).
Jetzt noch ein Zusatz und damit kommen wir zur Lösung Deiner Aufgabe: Streng genommen müssen wir nach jeder Integration ein Element C zur Stammfunktion hinzuaddieren. Das hat folgenden Grund: Bekanntlich fallen konstante Summanden einer Funktion f(x) beim Differenzieren weg. Gehen wir dem umgekehrten Weg, also Integrieren wir wieder dann müssen wir diesen Summanden, nennen wir ihn C, wieder hinzuaddieren.
Ein Beispiel:
F(x) = 2/x + 1
Wenn wir ableiten erhalten wir F'(x) = f(x), also
f(x) = -2/x2 ; die 1 ist also weggefallen.
Genau hier haben wir eben integriert, aber eigentlich wissen wir nicht, welchen Wert der Summand C in F(x) hatte, im Beispiel war es die 1, es könnte aber auch 5, -3 oder eben allgemein gesagt C sein. Hier knüpft Deine Aufgabe an:
Man muss den Summanden C so bestimmen, das F(x) durch jeweils einen dieser drei Punkte verläuft.
Erster Punkt P (-1|-1):
F(x) = 2/x + C
und F(-1)= -1 also
-1 = 2/(-1) + C und daraus folgt
C = 1
Genauso verfährst Du mit den anderen zwei Punkten. Lösungen C1=1 ; C2= - 1 und C3 = - 1
Viele Grüße
 Oliver |
Sara
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 22:38: |
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Vielen Dank, Oliver. Einigermaßen habe ich es verstanden.
Gibt es auch eine Stammfunktion, die durch alle drei Punkte geht oder sind das drei unterschiedliche Stammfunktionen?
Sara |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Juni, 2000 - 12:04: |
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Hallo Sara,
Zufälligerweise gibt es eine Stammfunktion mit C=-1, die durch die letzten beiden Punkte geht. Allerdings gibt es keine Stammfunktion F(x), die alle drei Punkte erfüllt bzw durch alle drei Punkte geht.
Noch eine Korrektur: In meiner ersten Nachricht hat sich ein Tippfehler eingeschlichen, und zwar in der Rechnung unterhalb des fett geschriebenen Wortes DIVIDIEREN: Dort muss es direkt nach der ersten eckigen Klammer -2*x-1/(-1) heißen, also dann = 2/x
Viele Grüsse
Oliver |
Lisa
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juni, 2000 - 00:57: |
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Ich glaube zwar nicht, dass das gesucht war, aber es gibt eine Stammfunktion, die durch alle drei Punkte geht:
f(x)=2/x+1 für x<0
f(x)=2/x-1 für x>0 |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juni, 2000 - 20:44: |
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Hallo Lisa,
deine Stammfunktion ist im wesentlichen eine Kombination aus zwei verschiedenen Stammfunktion mit C = -1 und C = 1. Ich verstand die Aufgabenstellung allerdings so, als dass man eine Funktion ohne Aneinandersetzung von zwei verschiedenen Stammfunktion finden soll, und das war nicht der Fall. Trotzdem aber ist Deine Angabe richtig und kann hier auch als Lösung im Sinne der Aufgabenstellung angesehen werden.
Bravo!
Viele Grüße
Oliver |
Sara
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Juni, 2000 - 22:28: |
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Danke Oliver und Lisa!
Ihr habt mir sehr geholfen!
Sara |
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