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Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 11:13: | 
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hi an alle,
wie genau löst man denn folgende Aufgabe?:
Eine Matrix P Element K hoch n,n heißt Projektor, falls p²=p ist. Z.B. sind die folgenden Matrizen p(1), P(2) aus IR hoch 3,3 Projektoren:
p(1)=
0 0 0
0 1 -2
0 0 0
p(2)=
1/3 mal
2 -1 1
-1 2 1
1 1 2
Sei P Element K hoch n,n ein Projektor. Für jedes x Element K hoch n,1 gilt damit x=x-Px+Px mit x-Px Element Kern(P), Px Element Bild(P).
i) Zeige: Es gilt K hoch n,1 = Kern(P) + Bild(P), Kern(P) geschnitten Bild(P) = {0}
ii) Seien P,Q Projektoren aus K hoch n,n mit PQ=QP. Zeige, daß PQ ein Projektor ist und daß gilt Bild(PQ)=Bild(P) geschnitten Bild(Q), Kern(PQ)= Kern(P) + Kern(Q) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 11:43: |
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Hi Anonym, ein Teil von ii)
PQ ist Projektor, denn
(PQ)² = (PQ)*(PQ) =............Assoziativgesetz
P*(QP)*Q =...............Deine Vorausetzung PQ=QP
P*(PQ)*Q = ....................Assoz.gesetz
(PP)*(QQ) = P² * Q² =.........P, Q Projektoren
P*Q
Also: (PQ)² = PQ
Ciao. |
Anom1
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 12:58: |
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Wow, DANKE.
Wie zeigt man aber daß, Bild(PQ)=Bild(P) geschnitten Bild(Q) bzw. Kern(PQ)=Kern(P)+ Kern(Q)ist?
Und wie sieht es mit i) aus?
da x Element aus K hoch n,1 ist,
x-Px Element aus Kern(P) und
Px Element aus Bild(P)
ist da nicht schon klar, daß
K hoch n,1=Kern(P)+Bild(P) ist,
weil ja (x)=(x-Px)+(Px) ist??
wass muß man da noch machen? |
ari
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Juni, 2000 - 13:48: |
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Hi, zu i)
*** Da sowohl Kern(P) als auch Bild(P) Teilmengen und Untervektorräume von K hoch n,1 sind, ist auch
Kern(P) + Bild(P) eine Teilmenge von K hoch n,1
*** Umgekehrt: ist x Element von K hoch n,1, so wird mit genau Deiner Argumentation x zerlegt in
x = (x - Px) + Px mit x-Px Element von Kern(P) und Px Element aus Bild(P). Damit ist auch x Element aus Kern(P) + Bild(P).
Damit sind beide Mengen Teilmenge der anderen, also gleich.
Nachzuprüfen bliebe lediglich noch, warum denn (x - Px) in Kern(P) liegt. Das geht so:
zu zeigen ist: P(x - Px) = 0 (Nullvektor)
P(x - Px) = .............|Linearität
Px - P²x = ..............| P Projektor, P²=P
Px - Px = 0
Ciao. PS.: ich bin der Anonym der ersten Antwort, nenne mich jetzt aber ari - die vielen Anonyms sind nicht mehr zu trennen. |
Anom1
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juni, 2000 - 15:06: |
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Warum muss man nachprüfen, dass x-Px in Kern(P) liegt? Steht das nicht schon in der Aufgabenstellung?: "...mit x-Px Element Kern(P),..." |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 08:17: |
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Hi Anom1,
stimmt. Zu "Kern(P) geschnitten Bild(P) = {0}" fällt mir leider nichts ein. Ciao. |
anom1
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. Juni, 2000 - 13:32: |
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Macht ja nix, vielleicht weiß ja jemand anderes weiter. danke. |
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