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Andy
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juni, 2000 - 19:00: | 
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Hallo Leute,
wer kann mir folgende Aufgabe lösen oder zumindest tipps dazu geben. Ich würde mich über eine möglichst schnelle Antwort freuen, da ich die Lösung bis morgen haben muss.
Seien V und W Vektorräume über K; ferner sei 0< n=dim V< oo und v(1),...,v(n) eine Basis von V. Sei die Abbildung f: V-->W linear. Zeige:
i) f ist injektiv <==> Die Vektoren f(v(1),...,v(n)) sind linear unabhängig.
ii) f ist surjektiv <==> L(f(v(1),...,f(v(n)))= W. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juni, 2000 - 22:44: |
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i)
"=>"
0=Sn k=1 lkf(vk)=f(Sn k=1lkvk)
Da 0=f(0) folgt aus der Injektivität
0=Sn k=1 lkvk
Þ lk=0 "k
"<=" Sei f(x)=f(y).
=> es gibt lk,mk mit x=Sn k=1 lkvk und y=Sn k=1 mkvk
Aus f(x)=f(y) folgt unter Ausnutzung der Linearität f(x-y)=0
bzw. Sn k=1(lk-mk)f(vk))=0
Þ(lk-mk)=0
Þlk=mk "k
Þ x=y
ii)
"=>"
f(v)=f(Sn k=1lkvk)=Sn k=1lkf(vk),also ist f(v) stets Element von L({f(vk)|k€{1..n}}). Aufgrund der surjektivität von f gibt es aber zu jedem w€W ein v€V mit f(v)=w,also ist w€L({f(vk)|k€{1..n}}) bzw. WcL({f(vk)|k€{1..n}}).Umgekehrt ist aber wegen f:v->W auch f(V)=L({f(vk)|k€{1..n}}) c W
"<="
Sei w€W beliebig. Es gibt lk (k=1..n} mit w=Sn k=1lkf(vk),denn {f(v1),...,f(vn)} ist Erzeugendensystem von W.
=> w=f(Sn k=1lkvk),also liegt w in f(V) und somit ist f surjektiv. |
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