| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juni, 2000 - 08:01: | 
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Kann mir vielleicht jemand folgende Integrale berechnen?
a) Integral(e(hoch -x)+e(hoch -2x)dx
b) Integral(e(hoch 3x)/(e(hoch3x)+5)dx
c) Integral(cos x)/(2. Wurzel (sin²x+3))dx
d) Integral (dx/sin x)
e) Integral(2x³-x²-10x+19)/(x²+x+6)dx
f) Integral von 0 bis 1 von (x/((x+1)²(x+2))dx
Wäre nicht schlecht, wenn der Lösungsweg dabei wäre, denn dann kapiere ich vielleicht mal, um was es überhaupt geht.
Danke!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juni, 2000 - 10:40: |
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Motto: Trimm Dich fit mit Integralen !
Hi,
Deine Aufgaben sind recht anspruchsvoll ; alle sechs Integrale
haben es mir angetan, und ich habe sie alle gelöst
( Frage: an welchem Institut werden solche Aufgaben serviert ? )
Ich möchte Dir aber die Lösungen nur in homöopathischen Dosen
applizieren , damit Du Dich nicht übernimmst.
Hübsch ist Aufgabe d) J = int ( dx / sin x )
Wir benötigen zur Lösung eine Formel aus der Goniometrie
über halbe Winkel, nämlich:
sin x = 2 * sin x / 2 * cos x / 2 = 2 * tan x / 2 * (cos x / 2) ^2
Wir wollen das vorgelegte Integral durch Substitution lösen ; wir setzen
tan x / 2 = z ; zwischen den Differentialen dx und dz
besteht die folgende Beziehung
dz = dx / [2* (cos x / 2 ) ^ 2)] , wie man durch Ableiten von
tangens x /2 findet.
Verwendet man die obige goniometrische Beziehung , so kommt:
dz = dx / [ 2* (cos x / 2) ^ 2 ] = z * dx / sin x , also:
dx / sin x = dz / z ; das wollen wir im gegebenen Integral einsetzen,
und wir bekommen:
J = int (dz / z ) = ln z = ln tan (x / 2) als Schlussresultat.
( ganz korrekt: z und tan(x/2) sollten noch in Absolutstriche gesetzt werden)
Eine längere Pause ist angesagt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath (solo) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 07:15: |
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Hi,
Zur Aufgabe a)
Das Integral J(x) aus a) ist rasch gelöst; das Resultat stellt sich als Summe zweier einfacher Integrale der Exponentialfunktion dar.
Da im Exponent die Faktoren -1 auftreten, ist Vorsicht im Umgang mit
dem Vorzeichen angebracht.
Als Routiniers schreiben wir direkt das Resultat:
J (x)= - e ^ (-x ) - 1/2 * e ^ (-2*x) ;
mache die Probe , indem Du die Ableitung von J(x) bestimmst.
Zu Aufgabe b)
Hier substituieren wir e ^ (3x) = u ;die Ableitung dieser Beziehung nach x liefert : 3 * e ^ (3x) * dx = du als Relation für die Differentiale dx und du.
Wir bekommen der Reihe nach:
I(x) = int ( e ^ (3x) / (e^(3x )+5) *dx) = 1/3 * int (du /(u+5) ) =
1 / 3 * ln ( u + 5 ) = 1 / 3 * ln ( e ^ (3x) +5)
oder mittels eines Logarithmensatzes:
I(x) = ln {dritte Wurzel (e ^ (3x) + 5 )} als Schlussresultat.
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 10:42: |
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Hi
Der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe c) und der folgenden ist
um einiges höher als der bei den vorangehenden Aufgaben.
Nehmen wir das Integral J(x) unter c) in Angriff
Wir substituieren : ( sin x ) ^ 2 + 3 = z ^ 2. Diese Gleichung leiten wir
nach x ab, um eine Beziehung zwischen den Differentialen
dx und dz zu erhalten
Es entsteht: 2 * sin x * cos x * dx = 2 * z * dz , mithin erhalten wir
für den Term im Zähler des gegebenen Integrals
cos x * dx = z * dz / sin x und für das Integral J selbst:
J = int ( z dz / (z * sin x ); z hebt sich weg und sin x ist gemäss der Substitutionsgleichung durch wurzel ( z^2 -3 ) zu ersetzen
Es verbleibt das folgende Integral mit der neuen Integrationsvariablen z:
J = int ( dz / wurzel (z ^2 -3));
Kenner der Materie sehen sofort, dass wir es mit einer
Areacosinus hyperbolicus - Funktion zu tun haben (siehe das Post Scriptum),
nämlich mit arcosh ( z / wurzel(3)) = ln [z / wurzel(3) + wurzel(z^2 /3 -1)] =
ln[z + wurzel (z^2 - 3)] - ln [(wurzel(3)] nach einem Logarithmengesetz.
Der zweite Logarithmus ganz rechts ist eine Konstante und kann weggelassen werden, da sie in einer Integrationskonstanten Unterschlupf findet.
.
Wir erhalten somit durch Rücksubstitution das Schlussresultat:
J = ln [ sin x + wurzel (( sin x ) ^ 2 + 3 )]
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Post Scriptum
1. Als bekannt vorausgesetzt wird die Formel für die Ableitung der Areacosinushyperbolicus-Funktion (siehe einschlägige Tabellen)
Es gilt für y = arcosh x
y ' = 1 / wurzel(x^2 -1) , daraus folgt sofort:
für f (x) = arcosh (x / a) gilt: f ' (x) = 1 / wurzel (x^2 - a^2),
daher kommt: int (dz /wurzel (z ^ 2 - 3)) = arcosh ( z / wurzel(3));
dies wurde im obigen Text verwendet.
2. Ebenfalls Formelsammlungen entnimmt man die Beziehung
arcosh u = ln [ u +wurzel(u^2 - 1)] für 0 < = u < plus unendlich
usw.
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 13:27: |
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Hi
Lösung der Aufgabe e)
Im Sinne einer Vorbereitung ermitteln wir
H(x )= int (dx /(x^2+x+6);vermutlich ergibt sich im wesentlichen
eine arctan -Funktion.
Wir formen den Nenner N des Integranden um:
N = x ^ 2 + x + 6 = (x+ ½ )^ 2 + 23 / 4 =
23 / 4 * [ 4 / 23 * (x + ½) ^ 2 + 1 ]
Für die Berechnung des Integrals H liegt ist die Substitution
t = 2 / wurzel(23)* (x+1/2) nahe
Daraus ergibt sich für dt und dx die Beziehung
dt = 2 / wurzel(23) * dx oder dx = ½ * wurzel (23)
Aus dem Integral H mit der Integrationsvariablen x entsteht ein Integral
mit t als Variable, nämlich:
H = ½*wurzel( 23 ) / ( 23 / 4 ) * int( dt / ( 1+ t ^ 2 );
Das Integral ist arctan PUR !
H = 2 * wurzel (23 ) / 23 * arc tan ( t )
Rücksubstitution bewirkt als Endergebnis unserer Vorbereitung:
H = 2 * wurzel ( 23 ) / 23 * arc tan [ (2x+1) / wurzel(23)]
Nach diesem Vorspiel wenden wir uns dem in Aufg.e) gegebenen
Integral zu.
Der Integrand f(x) ist eine unecht gebrochene rationale Funktion in x.
Wir verwandeln diese in einen ganzen Teil und eine echt gebrochene
rationale Funktion, indem wir nach bekanntem Muster ausdividieren
Das Resultat dieses Unterfangens ist:
f(x) = 2x - 3 - (19x-37) / (x^2+x+6) ;
wir formen weiter um und präparieren alles für die anschliessende Integration
f(x) = 2x - 3 - 19 / 2 * ( 2 x +1) / (x^2 +x+6) + 93 / 2 * 1/ (x^2+x+6)
( bitte nachrechnen !)
Jetzt integrieren wir f(x) gliedweise
(benütze H aus der Vorbereitungsphase); wir erhalten
F(x) = x ^ 2 -3 x - 19 / 2 * ln (x ^ 2 + x +6 ) + 93 / 2* H =
= x^2 -3*x -19/2 * ln(x^2+x+6)+93/23* wurzel(23)*arctan[(2x+1)/wurzel(23)]
als Schlussresultat.
Damit ist auch dieses Integral überwältigt !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juni, 2000 - 22:55: |
|
Hi
Die kürzeste Herleitung des Integrals in Deiner Aufgabe d ) ,
die ich kenne, ist die folgende :
Substitution x = 2t , dx = 2 dt
J = int (dx / sin x) = int (2 dt / sin ( 2* t ) = int ( dt / (sin t * cos t) =
int ( {1 / (cos t )^ 2} / { tan t } * dt) = ln ( tan t ) = ln (tan (x/2))
( beachte, dass beim letzten Integral beim Integrand im Zähler die Ableitung
des Nenners steht , daher ist das Integral gleich dem logarithmus naturalis
des Nenners! )
voilä, c'est tout !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 10:11: |
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Hi
Wir berechnen Dein letztes Integral f) durch eine Partialbruchzerlegung
und ermitteln zunächst das zugehörige unbestimmte Integral
Da der Nenner bereits in Faktoren zerlegt ist, finden wir den Ansatz
für die Teilbrüche schnell:
x / ((x+1)^2*(x+2)) = A / ((x +1 ) ^ 2) + B / ( x +1) + C / ( x+2 )
Schreibt man die ganze rechte Seite als einen einzigen Bruch mit dem Nenner der linken Seite, so wird der Zähler dieses Bruches, schon nach Potenzen in x geordnet:
(B + C)* x ^ 2 + (A + 3 * B + 2 * C ) + ( 2*A + 2*B + C)
Diese Funktion in x muss für alle x mit dem Zähler der linken Seite übereinstimmen, also mit x identisch sein
Das ist nur möglich, wenn die erste Klammer im diesem Term null,
die zweite 1 und die dritte wieder null ist
Das ist der weltberühmte Koeffizientenvergleich.
Wir haben drei Gleichungen für A,B,C gewonnen ,nämlich
B+C = 0
A + 3 B +2 C =1
2A + 2B + C = 0
Die Lösungen sind:
A = -1 , B = 2 , C = - 2.
Diese Werte setzen wir bei den Zählern ein und integrieren Bruch für Bruch:
Die Einzelintegrale sind beim zweiten und dritten Bruch lauter Logarithmen und zwar erscheint jedesmal der logarithmus naturalis des Nenners;
das Integral des ersten Bruches wird 1 / (x+1) wie man durch Ableiten leicht
bestätigt
Das gesuchte unbestimmte Integral J(x) lautet somit:
J(x) = 1 / (x+1) + 2* ln (x + 1) - 2 * ln ( x + 2)
Setzt man kunstgerecht die gegebenen Grenzen ein, so erhält man den Wert
I des Bestimmten Integrals (Log.sätze benützen !)
I = - 1 / 2 + 2 * ln (4/3)
Ein Näherungswert ist: I = 0.0753641449 !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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