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Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 08:06: | 
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Kann mir vielleicht jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Ermitteln Sie Integral von sin(hoch4)x dx durch Rückführung auf Grundintegrale mittels partieller Integration mit u=sin³x und v'=sin x
Hinweis: Nutzen Sie ggf. die Beziehung
cos²x=1-sin²x und beahndeln Sie Integral
von sin²x dx auf analoge Weise.
Ich bräuchte auch den Lösungsweg, denn so eine Aufgabe kommt in der Klausur dran. Ich habe aber keine Ahnung, wie das gehen soll. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 18:19: |
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Hi,
Bei Deinem Integral geht es primär um die partielle Integration.
Wenn man sich geschickt anstellt, kommt man in wenigen Zügen
zum Ziel.
Wir schaffen uns eine Grundlage und berechnen zuerst das Integral
J2 = int ( ( sin x ) ^ 2 * dx ).
Obwohl die Lösung dazu - sogar mehrfach- im Board
zu finden wäre, wollen wir uns nicht um den Genuss bringen,
die Lösung nochmals vorzuführen
Mit partieller Integration erhalten wir:
J2 = int ( sin x * sin x * dx) = - cos x * sin x - int ((- cos x) * cos x * dx =
= - cos x * sin x + int ( (1- (sin x) ^2 )* dx ) =
= - cos x * sin x + int ( 1 * dx) - int ( (sin x ) ^ 2 * dx)
ganz rechts erscheint das gesuchte Integral J2
auf eine leicht aufdringliche Art, was uns aber nur recht sein kann.
Wir bringen J2 sofort nach links, schreiben für int ( 1*dx )
einfach x und lösen die Gleichung nach J2 auf.
Das Resultat:
J2 = 1 / 2 * ( x - sin x * cos x)
Jetzt geht's um das Integral Deiner Aufgabe:
J4 = int ( (sin x) ^ 4 * dx ) Wir spalten einen Faktor sin x ab
und integrieren partiell.:
J4 = int ( ( sin x ) ^ 3 * sin x * dx ) =
- ( sin x ) ^3 * cos x + 3 * int ( ( sin x ) ^ 2 * ( cos x ) ^ 2 * dx) =
- ( sin x ) ^3 * cos x + 3 * int ( ( sin x ) ^ 2 * ( 1 - (sin x)^2 * dx ) =
- ( sin x ) ^3 * cos x + 3 * int ( (sin x) ^2 * dx ) -3* int ((sin x) ^4 * dx)
Es geschehen wiederum Zeichen und Wunder. Rechts kommen die Integrale
J2 und selbst J4 wiederum vor !
Wir lösen brav nach J4 auf und erhalten als Schlussresultat ( J2 ersetzen ! ):
J4 = - 1 / 4 * (sin x ) ^ 3 * cos x + 3 / 8 * ( x - sin x* cos x )
BRAVO !
Das war ein Plausch!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath. / solo. |
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