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Beitrag |
    
Bjoern Weiland (Bjoern)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2000 - 13:55: | 
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Hi Leute
Im Lambacher Schweitzer 'Analytische Geometrie LK' steht zur charakteristischen Gleichung auf S. 219 folgendes:
Ist bei der Vektorabbildung
v1'=2v1+v2
v2'=4v1-v2
v'-vektor ein Vielfaches von v-vektor, also ist v'=lambda*v, dann muss das homogene Gleichungssystem
lambda*v1=2v1+v2
lambda*v2=4v1-v2
eine nichttriviale Lösung besitzen. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante den Wert 0 hat.
Mit weiteren Berechnungen gelangt man dann zur charakteristischen Gleichung...
Frage:
Warum muss das Gleichungssystem eine _nichttriviale_ Lösung besitzen, was ist das überhaupt und was hat das mit der Determinante zu tun, warum muss diese gleich 0 sein?
Dankbar für jede Hilfe
bjoern |
Andreas
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Juni, 2000 - 16:08: |
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Hi Björn,
also das ist so:
Du hast ne (lineare) Abbildung und sollst herausfinden, ob irgendein Vektor auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird. Nun kann ein ganz schlauer Mensch sagen: Klar doch, denn der Nullvektor wird ja sogar auf sich selbst abgebildet. Nun, das ist natürlich nicht gemeint, die Frage ist, ob ein anderer als der Nullvektor auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird. Der Nullvektor der ja immer geht, ist die sogenannte triviale Lösung des Problems, die nicht sonderlich interessiert.
Gut, du kommst jetzt also auf ein lineares Gleichungssystem. wenn so ein System eine von 0 verschiedene Determinante besitzt, dann hat es genau eine Lösung. Wenn du dich aber ausser für die triviale Lösung noch für weitere Lösungen interessierst, dann muss das System mindestens 2 Lösungen haben (die triviale und mindestens eine nichttriviale). Das geht aber natürlich nur wenn die Determinante 0 ist.
Dein System lautet ja
(2-lambda)v1+v2=0
4v1+(-1-lambda)v2=0
Folglich ist die Determinante
(2-lambda)(-1-lambda)-4=0
Also lambda=3 oder lambda=-2.
Schick mir ne e-Mail, wenns noch Probleme gibt. |
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