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Nicole
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 23:45: | 
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Hai!
Ich brauch gaaanz schnell eure Hilfe!
folgendes Problem!
In Z5[x] seien die Polynome p(x)=x^3+3 und q(x)=x^10 gegeben.
a) Wieviele verschiedenen Nebenklassen modulo p(x) gibt es in Z5[x]?
b) Bestimmen sie ein Polynom r(x) vom kleinstmöglichen Grad, das modulo p(x) in der gleichen Nebenklasse wie q(x) liegt.
c) Ist Z5[x]/[p(x)] ein Körper? Begründung!
Danke jetzt schon mal. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 23:39: |
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Was ist Z5[x] ?
Soll das der Polynomring mit Polynomen maximal 5.Grades mit ganzzahligen Koeffizienten sein? |
Nicole
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 09:33: |
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Also ich glaub es geht um den Polynomring bei dem die Koeffizienten aus Z modulo 5 gebildet werden. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juni, 2000 - 12:58: |
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Hi Nicole,
a) Da p(x) ein Polynom dritten Grades ist, gibt es 53 Nebenklassen, nämlich die Nebenklassen der Polynome vom Grade 0, 1 und 2. Denn du kannst jedes Polynom q(x) höheren Grades darstellen als
(1) q(x) = a(x)*p(x) + r(x)
mit grad(r(x)) < grad(p(x)).
Andererseits können zwei Polynome vom Grad < 3 niemals in derselben Restklasse liegen, da ihre Differenz sonst ein Vielfaches von p(x) sein müsste.
b) Bestimme mit Polynomdivision a(x) und r(x), so dass (1) erfüllt ist. r(x) ist das gesuchte Polynom.
c) Da p(x) die Nullstelle 3 hat, ist p(x) nicht irreduzibel. p(x) = (x+2)(x²+3x+4). In Z5[x]/[p(x)] gilt also (x+2)(x²+3x+4) = 0. Also liegt kein Körper vor. |
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