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Beitrag |
    
mp1
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 15:48: | 
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Hallo! Ich habe ein Problem und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
In meinem Beispiel sind drei Geraden gegeben:
a:x+y=9
b:7x+y=-27
c:7x-5y=51
Diese drei Geraden sind die Trägerlinien eines Dreiecks.
Gesucht ist die Formel der Eulerschen Geraden.
Es ist zwar sehr einfach den Schnittpunkt S des Dreiecks (ich glaube (3/6)) zu finden, aber dann komme ich einfach nicht mehr weiter. Woher bekomme ich den Richtungsvektor für diese Gerade? |
Ralf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juni, 2000 - 22:30: |
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Was ist die Eulersche Gerade?? Wie ist sie definiert?
Ralf |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 07:59: |
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Hi mp1,
Ein paar Vorbemerkungen drängen sich auf:
1. Begriff Eulersche Gerade:
In einem Dreieck liegen der Schnittpunkt H der Höhen,
der Schwerpunkt S und der Mittelpunkt U des Umkreises
auf einer Geraden, der Eulerschen Geraden .
Wir werden im folgenden diese Gerade zu Ehren von
Leonhard Euler mit l bezeichnen.
Wir ermitteln zuächst die Punkte S und U; dadurch ist l bestimmt.
Zur Kontrolle prüfen wir, ob auch H auf l liegt.
2. Es ist nützlich, alle gegebenen und errechneten Daten
in ein rechtwinkliges Koordinatensystem einzutragen, Einheit
auf den Achsen 4 oder 5 mm.
3 Wir benützen für alle Geraden die Koordinatengleichungen
und kommen ohne Vektoren aus.
Hingegen berechnen wir des öftern Steigungen m von
Dreiecksseiten als Quotient der Differenzen der gleichnamigen
Koordinaten der Endpunkte; im Zähler steht die Differenz
der y-Koordinaten, im Nenner diejenige der x-Koordinaten
Wir machen wiederholt vom Satz Gebrauch, dass für zwei Geraden,
welche aufeinander senkrecht stehen, das Produkt ihrer Steigungen
minus 1 ist.
4: Um eine Gerade durch einen gegebenen Punkt P1(x1/y1)
mit der gegebenen Steigung m zu legen, verwenden wir die sogenannte
Punkt-Richtungsform der Geradengleichung ; sie lautet:
y - y1 = m ( x - x1 )
5 Die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke sind die
arithmetischen Mittel der gleichnamigen Koordinaten der Endpunkte.
Die Koordinaten des Schwerpunktes ergeben sich analog als Mittelwerte
er entsprechenden Koordinaten der Ecken A,B,C
1.Schritt:
Ermittlung der Ecken A,B,C des Dreiecks:
A ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden b , c
aus Deiner zweiten und dritten Gleichung; Resultat: A ( -2 / -13 )
B ebenso als Schnittpunkt von c , a
aus der dritten und ersten Gleichung; Resultat: B ( 8 / 1 )
C als Schnittpunkt von a, b
aus der ersten und zweiten Gleichung, Resultat: C ( -6 / 15)
2.Schritt:
Ermittlung des Schwerpunktes S
Nach der Bemerkung 5 erhalten wir sofort:
xS = ( -2 + 8 - 6 ) / 3 = 0 , yS = (-13 + 1 + 15) / 3 = 1, somit S(0/1)
3.Schritt:
Ermittlung des Umkreismittelpunktes U als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten AB und BC
Mittelsenkrechte n1 von AB
geht durch den Mittelpunkt ( 3 /-6 ) der Seite AB und steht auf ihr senkrecht
Steigung von AB: (1+13) / (8+2)= 7 / 5, daher Steigung von n1 : - 5 / 7
Gleichung von n1 mit Punkt-Richtungsform:
y + 6 = - 5/7 *(x .3) oder y = -5 / 7 x - 27 / 7.
Mittelsenkrechte n2 von BC
geht durch den Mittelpunkt ( 1 / 8 ) der Seite BC und steht auf ihr senkrecht.
Steigung von BC: (- 6 - 8 ) / (15 -1) = - 1 , daher Steigung von n2: +1
Gleichung von n2 mit Punkt-Richtungsform:
y - 8 = 1* ( x - 7 ) oder y = x + 7
U ist der Schnittpunkt der Geraden n1, n2; wir bekommen für U
die Koordinaten xU = - 19 / 3 , yU = 2 / 3.
4.Schritt
Gleichung der Eulergeraden l
Die Gerade ist durch die Punkte S und U bestimmt
Als Steigung ergibt sich der Wert m = (1 - 2 / 3) / ( 0 + 19 / 3 ) = 1 / 19
wir legen l durch S; die Gleichung von l lautet:
y -1 = 1 /19 x oder
y = 1/19 * x + 1 als lang ersehntes Schlussresultat
Fortsetzung folgt !
Gruss.H.R.M. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 10:12: |
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Hi mp1,
In der Fortsetzung berechnen wir noch die Koordinaten des Höhenschnittpunktes H , und wir kontrollieren, ob H auf der
Eulergeraden l liegt.
Wir kennen bereits die Gleichung von l ,nämlich y = 1/19 * x + 1
H wird bestimmt als Schnittpunkt der Höhen ha und hc.
ha geht durch A (- 2 /-13 ) , senkrecht zu BC ; die Steigung ist 1;
Gleichung von ha : y + 13 = 1* ( x + 2 ) oder y = x -11
hc geht durch C ( - 6 / 15 ) , senkrecht zu AB ; Steigung - 5 / 7
Gleichung von hc: y - 15 = - 5 / 7 * ( x + 6 ) oder y = -5 / 7* x + 75 / 7
H ist der Schnittpunkt dieser beiden Geraden;wir erhalten nach leichter Rechnung
xH = 38 / 3 , yH = 5 / 3.
Diese Koordinaten erfüllen die Gleichung der Eulerschen Geraden l ,
somit liegt auch U - wie es seit Leonhard Euler sein muss - auf l !
Bravo und Gruss
H.R.M. |
Mhk (Mhk)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. August, 2000 - 15:22: |
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Die Steigung der Eulerschen Geraden erhält man aus den drei Steigungen der Trägergeraden zu:
mi=-(m1*m2+m2*m3+m3*m1+3)/(3*m1*m2*m3+m1+m2+m3) |
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