| Autor |
Beitrag |
    
Stiftpritt
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 19:33: | 
|
Stammfunktion von
1. ArcSin(x) dx
2. a^x * Wurzel (1 + a^x) dx
3. Wurzel (x^2-4) / x
4. x^2 * Wurzel (2x+1) dx
Ich bin für jeden Ansatz dankbar |
H.R.Moser,megamath. und The Witch
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 14:44: |
|
Vorbemerkung: Das Folgende ist eine Gemeinschaftsarbeit von H.R.Moser,megamath. und The Witch.
Um nicht im Text noch mal grundlegende Schreibweisen und Beziehungen erklären zu müssen, hier die, die wir in der Darstellung verwendet haben:
Partielle Integration:
ò u'v = uv - ò uv'
Substitution:
Substitutionsvariable: z
z' = dz/dx Þ dx = 1/z' * dz
Und nun kanns losgehen: |
H.R.Moser, megamath. und The Witch
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 14:45: |
|
Hi,
Deine vier Integrale muss man behutsam, aber nachhaltig behandeln,
nämlich wie folgt:
1) Zunächst partielle Integration mit u' = 1, v = arcsin x, also u = x, v' = 1/Ö(1-x²)
ò arcsin x * dx = ò (1 * arcsin x * dx)
ò arcsin x * dx = x * arcsin x – ò (x * 1/Ö(1-x²) * dx
ò arcsin x * dx = x * arcsin x + 1/2 * ò (- 2x * 1/Ö(1-x²) * dx
Das Restintegral lässt sich durch Substitution integrieren:
z = 1 - x²; z' = - 2x; dx = 1/-2x * dz
ò ( - 2x * 1/Ö(z) * 1/-2x * dz = Öz
Rücksubstitution und Einsetzen ergibt
ò arcsin x * dx = x * arcsin x + Ö (1 – x²)
als Schlussresultat.
2) Das zweite Integral wird durch eine Substitution gelöst, etwa so:
z = 1 + ax; z' = ax * ln a; dx = 1/(a^x * ln a) * dz
Das ergibt:
ò ax * Ö(1 + ax) * dx = ò ax * Öz * 1/(a^x * ln a) * dz
ò ax * Ö(1 + ax) * dx = 1/ln a * ò Öz dz
ò ax * Ö(1 + ax) * dx = 1/ln a * 2/3 * z * Öz
Rücksubstutution und Zusammenfassen ergibt
ò ax * Ö(1 + ax) * dx = 2/(3 ln a) (1 + ax) Ö(1 + ax)
als Endresultat.
3) Das dritte Integral verlangt etwas Geduld und Routine; wir wählen die
Substitution z² = x² - 4 , daraus folgt für die Differentiale:
2 * z * dz = 2 * x * dx = , also dx = z/x * dz
Außerdem gilt: z² = x² - 4 Û x² = z² + 4
Damit ergibt sich:
ò Ö(x² + 4)/x = ò Öz²/x * z/x * dz
ò Ö(x² - 4)/x = ò z²/x² dz
ò Ö(x² - 4)/x = ò z²/(z² + 4) dz
An dieser Stelle folgt ein "Trick" - auf den man eigentlich nur kommen kann, wenn man den Überblick hat, wo man hin will -, nämlich die Additon und sofortige Subtraktion von 4 im Zähler:
ò Ö(x² - 4)/x = ò (z² + 4 - 4)/(z² + 4) dz
ò Ö(x² - 4)/x = ò [(z² + 4)/(z² + 4) - 4/(z² + 4)] dz
ò Ö(x² - 4)/x = ò [1 - 4/(z² + 4)] dz
ò Ö(x² - 4)/x = ò 1 dz - ò 4/(z² + 4)] dz
ò Ö(x² - 4)/x = z - ò 4/(z² + 4)] dz
ò Ö(x² - 4)/x = z - 4 * ò 1/(z² + 4)] dz
ò Ö(x² - 4)/x = z - 4 * 1/2 arctan z/2 (durch Ableiten bestätigen!!!)
Zusammenfassen und Rücksubstituieren ergibt
ò Ö(x² - 4)/x = Ö(x² - 4) - 2 arctan Ö(x² - 4)/2
als Resultat.
4) Nun zur Abwechslung wieder partielle Integration und zwar gleich mehrfach:
u' = Ö(2x + 1) und v = x²; also u = 1/3 (2x + 1)3/2 und v' = 2x
ò x² Ö(2x + 1) dx) = 1/3 (2x + 1)3/2 * x² – ò 1/3 (2x + 1)3/2 * 2x * dx)
ò x² Ö(2x + 1) dx) = 1/3 (2x + 1)3/2 * x² – 2/3 * ò x (2x + 1)3/2 dx)
Auf das Restintegral muss noch zweimal das selbe Verfahren angewendet werden - bitte selber machen! Als Schlussresultat ergibt sich dann:
ò x² Ö(2x + 1) dx) = 1/3 x² (2x + 1)3/2 - 2/15 x (2x + 1)5/2 + 2/105 (2x + 1)7/2
Ende der Vorstellung !
*Verbeugung*
*Vorhang* |
The Witch
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 14:47: |
|
Lieber H. R. - ich hoffe, dass ich mich zum guten Schluss nicht noch irgendwo vertippt habe.
*schwitz* |
odi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. August, 2000 - 23:50: |
|
was eine stammfunktion zu g(s)=e^s²??
schnelle hilfe! |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. August, 2000 - 10:25: |
|
Hallo odi,
Eine Stammfunktion lässt sich mit elementaren Funktionen nicht ausdrücken. |
|
