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Dana
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 18:31: | 
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hallo erst mal an alle,
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Ich hab' da nicht viel Ahnung wie das gehen soll.
ich hab die Spaltenvektoren:
z=(1,0,2,0,1^) hoch T
u1=(1,2,3,4,5) hoch T
u2=(1,0,0,0,1) hoch T aus R hoch 5,1
ich soll nun ein lin. Gleichungssystem A*x=b angeben, dessen Lösungsmenge Lös(A;b) gleich z + L(u1, u2)ist.
Wie geht man hier vor??? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 17:05: |
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Hinweis : Lin(u1,u2)=Kern(A) und b=Az
Such Dir also erstmal den zu Lin(u1,u2) senkrechten Raum,also alle Vektoren,die auf u1 und u2 senkrecht stehen.
Das sollte den Raum Lin{(0,2,0,-1,0),(0,3,-2,0,0),(-1,0,0,1,1)} ergeben. Jetzt weißt Du ,daß Du z.B.
wählen kannst.
b erhältst Du dann aus b=Az |
Dana
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juni, 2000 - 15:06: |
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danke aber wie macht man das nun genau??
ich hab echt kein plan. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juni, 2000 - 23:19: |
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Okay,also ganz von vorne.
Das gesuchte Gleichungssystem sei Ax=b. Da x=z+ru1+tu2 für beliebige r,t eine Lösung sein soll,gilt
A(z+ru1+tu2)=b
Ausnutzen der Linearität :
Az+rAu1+tAu2=b für alle r,t
Wähle r=t=0 => Az=b
Þ rAu1+tAu2=A(ru1+tu2)=0
Þ ru1+tu2 € Kern(A) für beliebige t,r
Speziell sind u1 und u2 Elemente des Kerns.Der Kern einer Matrix ist aber nichts anderes als alle Vektoren,die senkrecht auf alle Zeilenvektoren der Matrix stehn.Damit dies die einzigen sind,müßen die Zeilen linear unabhängig sein.
Fazit : Wir benötigen drei linear unabhängige Vektoren,die auf u1 und u2 senkrecht stehen,für die also folgendes Gleichungssystem erfüllt ist
(1) v1+2v2+3v3+4v4+5v5=0
(2) v1+v5=0
Ich hoffe das hilft Dir jetzt weiter... |
Dana
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 00:07: |
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hi Ingo,
warumist denn: x=z+ru1+tu2 ???
und soll Lin(u1,u2) das gleiche bedeuten wie L(u1, u2) ??? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Juni, 2000 - 19:39: |
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Lin(u1,u1) steht für die lineare Hülle von {u1,u2},also dem kleinsten Teilraum,der u1 und u2 enthält.Das ist aber gerade die Menge aller Linearkombinationen,also {x=ru1+su2 | r,s€IR}
Etwas ausführlicher : Es müssen die Vektoren u1 und u2 enthalten sein.Da es ein Teilraum sein soll,muß auch die Summe,also u1+u2 und jedes Vielfache,also ru1 und su2 drin sein.Das zusammen genommen ergibt den angegebenen Raum.
Zum zweiten : Da die Lösungsmenge z+L(u1,u2) sein soll,muß jeder Vektor dieser Menge eine Lösung sein,also x=z+ru1+su2 mit beliebigen Werten r,s,€IR. |
Dana
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juni, 2000 - 10:07: |
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Hi Ingo,
also nochmal:
wir brauchen also drei linear unabhängige Vektoren und das sind z.B. die Vektoren:
(0,2,0,-1,0)
(0,3,-2,0,0)
(-1,0,0,1,1)
was muss man machen, um auf diese Vektoren zu kommen? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Juni, 2000 - 23:01: |
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Bis zum Gleichungssystem hast Dus jetzt verstanden ?
Dann ist es nämlich nur noch eine Frage wie man Gleichungssysteme löst.
Bei diesem ist es am einfachsten die Variablen einzusetzen :
(2) => v1=-v5
(1} 2v2+3v3+4v4+4v5=0 => 2v2=-3v3-4v4-4v5
Also 2v = (2v1,2v2,2v3,2v4,2v5)
= (-2v5 , -3v3-4v4-4v5 , 2v3 , 2v4 , 2v5)
= v5(-2,-4,0,0,2)+v4(0,-4,0,2,0)+v3(0,-3,2,0,0) |
Bryan (Bryan)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 16:05: |
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Hallo !
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe den Lösungsweg erklären ?
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem A*x=b mit
der Matrize A:=
(1 0 3)
(2 4 7)
(-1 m 1)
und Vektor b=(9,12,-9)
Gesucht: Der Wert für m, damit das System eindeutig lösbar ist und die Lösungsmenge für m, damit das System nicht eindeutig lösbar ist. (Lösung nach Gauß)
Viele Grüße !
Bryan |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. September, 2000 - 18:05: |
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Hallo Bryan,
Die Aufgabenstellung ist wohl nicht ganz korrekt.
Es gibt einen Wert für m, damit das System nicht eindeutig lösbar ist und
es gibt eine Lösungsmenge für m, damit das System eindeutig lösbar ist.
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Man schreibt ganz einfach die erweiterte Koefizientenmatrix an und reduziert sie nach dem Gauß-Verfahren.
Dies ergibt in der letzten Spalte lauter Ausdrücke mit m-16 im Nenner, also ergibt sich für m=16 keine Lösung.
Für alle Werte von m aus: ]-¥;16[ U ]16;¥[ gibt es eine eindeutige Lösung.
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