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Beitrag |
    
Daniel Schwechter (Rocco)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 14:19: | 
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Gegeben: f von k (x)= 1/(x*x+4*x+k) k element rat.Zahlen. definierte Funktionsschar f k(tiefg.)
1.Bestimme Lage und Art der Definitionslücken in
Abhängigkeit von k.
2.Untersuche Einfluss von k auf Existenz u. Lage v. lokalen Extrema u. Wendepunkten
3.Bestimme für k=3,4 und 5 die Stammfunktion
F von k(tiefg.)
4. Berechne mit Hilfe von 3. das uneigentliche Integral 0 bis unendl. f k (x) dx für k=4
Bitte helft mir! Ich komme mit F.scharen nicht klar. Bitte! |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 07:50: |
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Hallo Daniel,
Du schreibst: "k element rat.Zahlen"
Was bedeutet: "rat. Zahlen" ? |
Daniel Schwechter (Rocco)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 08:38: |
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Hallo ich meinte k ist Element der rarionalen
Zahlen |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 14:58: |
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Die Lage der Definitionslücken ist relativ einfach zu bestimmen: Eine Funktion ist nicht definiert, wenn der Term im Nenner 0 wird. (oder Term unter Wurzel negativ oder Term im Logartithmus 0 oder negativ)
In diesem Fall muss man also nur feststellen, wann der Nenner=x*x+4*x+k Null wird.
Also:
x^2+4*x+k=0
pq-Formel (oder Mitternachtsformel) liefert:
x_1/2=-2 +/- Wurzel(4-k)
Die Diskriminante ist also (4-k).
1.Fall:
Wenn nun k 4-k > 0
Dann gibt es zwei Lösungen, d.h. zwei Def.Lücken, nämlich
x_1 = -2 +Wurzel (4-k)
und
x_2 = -2 -Wurzel (4-k)
2.Fall:
Wenn nun k=4: Dann ist 4-k=0. Das heißt wir haben eine doppelte Nullstelle, also in diesem Fall Def.Lücke bei x = -2
3.Fall: Ist k>4 dann ist 4-k<0; der Term unter Wurzel würde Null werden, und deshalb gibt es keine Def.Lücken.
Bei Art von Def.Lücken gibt es behebbare Def.Lücken, Polstellen mit und Polstellen ohne Vorzeichenwechsel(=VZW) zu unterscheiden...
Immer wenn der Nenner gegen 0 strebt und der Zähler nicht, so haben wir eine Polstelle. Da hier der Zähler konstant 1 ist, kann dieser nicht gegen 0 streben und wir wissen nun, dass jede Def.Lücke eine Polstelle ist.
Außerdem ist eine doppelte NST im Nenner normalerweise eine Polstelle ohne VZW, eine einfache NST im Nenner ist eine Polstelle mit VZW.
Die weiteren Aufgaben überlasse ich den Verantwortlichen hier...
Eine Frage an Rocco hätte ich aber noch: Stand in der Aufgabenstellung ausgeschrieben, dass k "Element der rationalen Zahlen" ist oder stand da vielleicht "k element von R"
In diesem Fall wären es nämlich alle reelen Zahlen und nicht nur die rationalen. (rat. Zahlen = Q, nicht R)
Nur so eine Vermutung, weil nämlich 1.) viele Schüler und Innen rationale und reele Zahlen verwechseln und weil 2.) bei Kurvenscharen normalerweise der Parameter k als Element der reelen Zahlen angegeben wird. Falls Du allerdings Recht hast und es nur die rationalen Zahlen sind, müsste die Aufgabe ziemlich genauso funktionieren. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 10:03: |
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Hallo! Da sonst keiner zu antworten scheint, eine Anleitung für die zweite Aufgabe. Ich hoffe, Du ermüdest nicht beim Lesen:
Da nach Extrema und Wendepunkten gefragt ist, sollte man zuerst ein paar Ableitungen bilden. (ich würde erstmal 2 nehmen)
Die erste müsste nach Quotientenregel (es ginge auch Potenz- mit Kettenregel)
f'(x)= -(2x+4)/(x*x+4*x+k)^2
oder -2(x+2)/(x*x+4*x+k)^2
sein.
f'(x)= -2(x+2)/(x*x+4*x+k)^2
(die ...... sollen nur Platzhalter sein)
............-2*((x*x+4*x+k)^2-(x+2)2(x*x+4*x+k)*(2x+4))
f''(x)= --------------------------------------------------
......................(x*x+4*x+k)^4
Bevor wir nun den Zähler ausmultiplizieren, sollte man zuerst den gemeinsamen Faktor (x*x+4*x+k) vorklammern und mit dem Nenner wegkürzen.
..............-2*((x*x+4*x+k)-2(x+2)(2x+4))
f''(x)= ------------------------------------------
...............(x*x+4*x+k)^3
Meines Wissens nach ergibt das (auf jeden Fall nachrechnen!!!):
...................2*(3x^2+12x+16-k)
f''(x)= ------------------------------------------
..................(x*x+4*x+k)^3
Die erste Ableitung muss nun für Extremwerte ganz normal 0 gesetzt und nach x aufgelöst werden. Hierbei ist es hilfreich, sich daran zu erinnern, dass ein Bruch dann 0 ist, wenn der Zähler 0 ist. Der Nenner ist dabei egal. Man muss nur bei jedem x-Wert, den man für irgendetwas herausbekommt immer überprüfen, ob dieser im Def.Bereich liegt oder ob da gerade eine Lücke ist.
In unserem Fall ergibt sich als mögliche Extremstelle nur x=(-2). Da (-2) eine Def.Lücke für k=4 ist, wissen wir nun, dass für k=4 keine Extremstelle existiert.
Nun muss für k ungleich 4 getestet werden, ob (-2) tatsächlich eine Extremstelle ist, indem man entweder überprüft, ob f' bei (-2) eine Vorzeichenwechsel(VZW) hat, oder indem man (-2) in die 2.Ableitung einsetzt. Da wir die 2.Ableitung sowieso brauchen, empfehle ich die 2. Methode.
f''(-2)= 2*(3*4+12(-2)+16-k)/(4-8+k)^3 = -2(k-4)/(k-4)^3
Da wir momentan ja nur k-Werte außer 4 betrachten, dürfen wir den Faktor (k-4) kürzen und erhalten:
-2/(k-4)^2
Dieser Ausdruck ist immer kleiner als 0
Man kann also zusammenfassend sagen:
Für k = 4 besitzt die Kurve keine Extrema
Für alle anderen k-Werte besitzt die Kurve einen Hochpunkt bei x=(-2)
(y-Wert noch ausrechnen!)
Für Wendepunkte geht es genauso, nur dass es wahrscheinlich noch mehr Schreibarbeit ist. Herauskommen müsste, dass es für k>4 2 Wendepunkte gibt und für k <= 4 gar keine. Das müsste ähnlich wie 1.Aufgabe aussehen. (mit Diskriminante) |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juni, 2000 - 10:06: |
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Wenn Du keine Kurvenscharen magst, dürfte doch die 3.Aufgabe kein Problem mehr sein, da hier ja nur für konkrete k-Werte gerechnet werden soll.
Da die Reihenfolge wohl egal ist, fange ich mal mit k=4 an:
F(x) = Integral (1/(x^2+4x+4))dx
Bei gebr.rationalen Funktionen dieser Art sollte man immer zuerst den Nenner (wenn möglich) faktorisieren. Für x=4 ist das ganz einfach, da wir ein Binom haben. Also ergibt sich:
1/(x^2+4x+4) = 1/(x+2)^2=(x+2)^(-2)
Das kann man jetzt entweder sofort integrieren oder macht vorher noch die Substitition u=x+2, du=dx
Dann haben wir F(x)=Integral(u^(-2)du)=-u^(-1)+C = -1/(x+2)+C
Das war der einfachste Fall. Für k=5 erhalten wir:
F(x)=Integral(1/(x^2+4x+5))dx
Binomiale Ergänzung liefert:
Integral( 1/(x^2+4x+4+1) )dx
also
Integral( 1/[(x+2)^2+1]) dx
Man erkennt einen Term der Form u^2+1 im Nenner, der nie 0 wird. Somit ist Faktorisieren nicht möglich. Setzen wir trotzdem u=x+2, erhalten wir:
Integral( 1/[u^2+1]) du
Entweder erkennt man nun sofort, dass das die Ableitung vom Arcustangens ist und schreibt nun gleich:
F(x)=arctan(u)+C=arctan(x+2)+C
oder man verwendet vorher noch die Substitution tan(t)=u mit du=1/(cos(t))^2 dt. Das liefert dann als Stammfunktion t+C, was nach dem Resubstituieren auf's Gleiche hinausläuft.
Anyway, bleibt noch der Fall k=3: Hier bekommen wir das
Integral( 1/(x^2+4x+3) )dx
Wir beginnen wieder mit Faktorisieren:
Integral( 1/(x^2+4x+4-1) )dx
=Integral( 1/[(x+2)^2-1] )dx
Das sieht so ähnlich aus wie bei k=4, nur dass wir diesmal eine -1 statt einer +1 dastehen haben. Dritte binomische Formel liefert:
=Integral( 1/[(x+2+1)(x+2-1)] )dx
=Integral( 1/[(x+3)(x+1)] )dx
Vielleicht habt Ihr hier eine Formel, wie man das löst. Wenn nicht, muss man hier Partialbruchzerlegung vornehmen. Ich werde das hier abkürzen und einfach feststellen, dass
1/[(x+3)(x+1)] = (1/2)*[1/(x+1) - 1/(x+3)]
Somit haben wir eine Summe, die wir getrennt integrieren können (Der Faktor (1/2) davor stört nicht weiter) und als Stammfunktion ergibt sich dann
F(x)=(1/2)*[ln|x+1|-ln|x+3|]+C
Das wäre die Antwort. Wenn man will, kann man noch das Logarithmengesetz anwenden und umformen zu
F(x)=(1/2)*ln|(x+1)/(x+3)| +C
Den Faktor (1/2) könnte man theoretisch noch als Exponent von |(x+1)/(x+3)| auffassen und das als Wurzel schreiben, nur ist das eigendlich keine Vereinfachung mehr.
So, zum Abschluss ganz schnell die 4.Aufgabe:
A = uneigendliches Integral von f(x)dx von 0 bis +00
= lim_t->+00 von Integral 0 bis t von 1/(x^2+4x+4)dx
= lim_t->+00 von [-1/(x+2)] von 0 bis t
= lim_t->+00 von [-1/(t+2) + 1/(0+2)]
= lim_t->+00 von [-1/(t+2) +1/2]
= 0 + 1/2
= 1/2
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So, das war's! Ich hoffe, ich konnte irgendwie weiterhelfen...
Ciao
Cosine |
Daniel Schwechter (Rocco)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juni, 2000 - 16:42: |
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Hallo Cosine!
Ich wollte mich nachträglich nochmal bedanken
für deine Mühe. |
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