| Autor |
Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Mai, 2000 - 14:36: | 
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Hallo,
wer kann mir hier weiterhelfen?
ich brauche für folgende Matrix eine Basis von Kern(A) sowie Rang(A):
1 2 1 2 -3
3 6 4 -1 2
4 8 5 1 -1
-2 -4 -3 3 -5
Außerdem wollte ich noch wissen wie man folgende Aufgabe löst:
Sei f(1)=(2, 1, 3, 1), f(2)=(1, 2, 3, 1), f(3)=(1, 0, 0, 1), f(4)=(0, 1, 1, -1)
Welche der linearen Gleichungssysteme Ax=f(i)sind lösbar? |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Mai, 2000 - 16:24: |
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Hallo Christian,
Zum ersten Teil:
Ich bin mit den deutschen Ausdrücken nicht sehr vertraut, deshalb bin ich nicht sicher, was Kern(A) bedeutet.
Ich nehme aber an, es ist das was auf Englisch: nullspace(A) heißt.
Also die Lösung x der Gleichung Ax=0.
Unter dieser Voraussetzung hier die Lösung:
Wir reduzieren vorerst die gegebene Matrix nach dem üblichen Gauß Verfahren:
1 2 1 2 -3 1 2 1 2 -3
3 6 4 -1 2 reduziert: 0 0 1 -7 11
4 8 5 1 -1 0 0 0 0 0
-2 -4 -3 3 -5 0 0 0 0 0
Ich nenne nun die Variablen (von links nach rechts)
x1, x2, x3, x4 ,x5
Wir sehen, dass es Pivots für x1 und für x3 gibt.
x2, x4, x5 sind freie Variable.
Wir drücken nun die "Pivot-Variablen" als Linearkombination der "freien Variablen" aus.
Es ist: x3-7x4+11x5=0 also x3=7x4-11x5
x1+2x2+x3+2x4-3x5=0
nun für x3 eingesetzt: x1=-2x2-9x4+14x5
Die freien Variablen lassen wir als Parameter.
x = x2*(-2,1,0,0,0) + x4*(-9,0,7,1,0) + x5*(14,0,-11,0,1)
Eine Basis von Kern?(A) = (-2,1,0,0,0) (-9,0,7,1,0) (14,0,-11,0,1)
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Fast hätt ichs vergessen:
Anzahl der Pivots = Rang
also Rang(A) = 2 |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Mai, 2000 - 16:54: |
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Hallo Christian nochmal,
Zur letzten Aufgabe:
Wir erweitern die Matrix A mit dem Kolonnenvektor f(i) und reduzieren wieder:
z.B mit f(1).
1 2 1 2 -3 2 1 2 1 1 -3 2
3 6 4 -1 2 1 reduziert: 0 0 1 -7 11 -5
4 8 5 1 -1 3 0 0 0 0 0 0
-2 -4 -3 3 -5 1 0 0 0 0 0 0
Dann gilt folgende Regel:
gibt es eine Zeile in der Form: 0 0 0 0 0 c
mit c nicht Null: so hat das System KEINE LÖSUNG.
gibt es in einer oder mehreren Kolonnen keinen Pivot, so hat das System UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN.
gibt es genau einen Pivot in jeder Kolonne, so existiert EINE EINZIGE LÖSUNG.
======================
Der letztere Fall, kann bei unseren Beispielen nicht eintreffen, denn eine 4 mal 6 Matrix kann nicht 6 Pivots haben.
Für obiges Beispiel mit f1 sehen wir:
keine Zeile mit 0 0 0 0 0 c, also Lösung existiert.
============================
Für f(2)=(1,2,3,1)
1 2 1 2 -3 1 1 2 1 2 -3 1
3 6 4 -1 2 2 reduziert: 0 0 1 -7 11 -1
4 8 5 1 -1 3 0 0 0 0 0 2
-2 -4 -3 3 -5 1 0 0 0 0 0 0
also: keine Lösung.
Die restlichen Beispiele kannst du nun sicher selbst rechnen. |
Christian
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juni, 2000 - 15:03: |
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Ja,
alles klar und danke nochmal |
C
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juni, 2000 - 17:18: |
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Hi Fern
wie kommst du eigentlich auf die 4 mal 6 Matrix. Darf man das einfach so erweitern? |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juni, 2000 - 19:24: |
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Hallo C,
Ich nehme mal an, du bist immer noch der Christian.
Unsere Aufgabe lautet:
Hat Ax=f(i) eine Lösung?
Für das erste f: f(1)=(2,1,3,1) heißt dies. finde einen Vektor x, so dass A multipliziert mit x den Vektor f ergibt.
Dazu muss f eigentlich ein Kolonnenvektor sein, aus Bequemlichkeit beim Schreiben wurde er als Zeilenvektor angegeben.
Nennen wir die Komponenten des Vektors x=(x1,x2,x3,x4,x5), so müssen wir folgendes Gleichungssystem lösen:
1x1+2x2+1x3+2x4+3x5=2
3x1+6x2+4x3-1x4+2x5=1
4x1+8x2+5x3+1x4-1x5=3
-2x1-4x2-3x3+3x4-5x5=1
Ein solches System löst man mit der oben angegebenen (4 mal 6) Matrix wobei man sich vor der letzten Kolonne = Zeichen denkt.
(Manche trennen die letzte Kolonne auch mit einem dünnen vertikalen Strich von den anderen 5 Kolonnen ab).
Die Lösung lesen wir von der reduzierten Matrix ab:
(Achtung: Oben ist ein Tippfehler in der reduzierten Matrix:
Die erste Zeile lautet: 1,2,1,2,-3,2 nicht: 1,2,1,1,-3,2)
x3=-5+7x4-11x5
x1=7-2x2-9x4+14x5
Die Variablen x2, x4, x5 sind frei wählbar.
Nehmen wir z.B. x2=x4=x5=0
So ist unser gesuchter Vektor x=(7,0,-5,0,0).
(Streng genommen wieder ein Kolonnenvektor!)
Zur Probe kannst du multiplizieren:
A mal x = f(1) |
Christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 14:37: |
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Hallo Fern,
kann es sei das noch ein tippfehler vorliegt?
in der zweiten reduzierten Matrix, muss da nicht die letzte Spalte folgendermaßen lauten:
1
-1
0
2
anstatt
1
-1
2
0
???? |
Christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 15:03: |
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Danke nochmal für deine hilfe Fern.
mir ist einiges klarer geworden, ich weiss bloss nicht wie du auf die 7 bzw. auf die -5 bei x=(7,0,-5,0,0)gekommen bist.
ansonsten hab ich für f1, f2, f3, f4 nach reduktion folgendes stehen:
f1 f2 f3 f4
2 1 1 0
-5 -1 -3 1
0 0 -1 0
0 2 0 0 |
Christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 16:18: |
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und nochmal,
ich hab's inzwischen raus, das mit der 7 und der -5.
Zum ersten teil der aufgabe, raff ich aber nicht 100%ig wie du zur Basis kommst? bis zum einsetzten von x3 in x1 kann ich noch folgen aber dann... |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juni, 2000 - 19:29: |
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Hallo Christian,
Tippfehler:
Ob in der 3. Reihe 0,0,0,0,0,2
oder in der 4. Reihe 0,0,0,0,0,2 steht, ist völlig egal.
Jede Zeile steht für eine Gleichung. In welcher Reihe diese Gleichungen aufgeschrieben werden, spielt keine Rolle. Es ist aber üblich, Zeilen mit lauter Nullen ganz unten zu schreiben.
====================
Deinen Kommentar mit f1, f2, f3, f4 verstehe ich nicht.
Es sind 4 verschiedene Aufgaben zu lösen:
Ax=f1; Ax=f2; Ax=f3; Ax=f4
=============================
Zur ersten Aufgabe:
Wir suchen die Lösung x der Gleichung Ax=0
Die erweiterte Koeffizientenmatrix müsste eigentlich immer mit einer Null am Ende jeder Zeile geschrieben werden. Dies habe ich weggelassen. Man muss sich aber hinter jeder Zeile "=0" denken.
Man kann also aus der reduzierten Matrix ablesen:
1x1+2x2+1x3+2x4-3x5=0
1x3-7x4+11x5=0
Daraus ergibt sich
x1=-2x2-9x4+14x5
x3=7x4-11x5
Unsere gesuchte Lösung ist:
Diesmal schöner als Kolonnenvektoren geschrieben.
x1 -2x2-9x4+14x5 -2 -9 14
x2 x2 1 0 0
x = x3 = 7x4-11x5 = x2* 0 + x4* 7 + x5*-11
x4 x4 0 1 0
x5 x5 0 0 1
Anmerkung: Vielleicht schreibt ihr in der Schule für die
freien Variablen x2,x4,x5 lieber r,s,t.
Man sieht jedenfalls, dass die Lösung x als Linearkombination
der 3 Kolonnenvektoren geschrieben werden kann.
Diese bilden daher eine Basis für x.
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Sandy
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 11:41: |
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Welche der lin.Gleichungssysteme A(x)=f^(i) sind denn nun lösbar? |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 14:36: |
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Lösungen existieren für f(1) und f(4)
Keine Lösung für f(2) und f(3) |
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