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Beitrag |
    
Sandy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Mai, 2000 - 12:47: | 
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Hallo ihr Lieben,
ich habe folgende Matrix A El. R^4,4:
A=
1 1 1 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
Nun soll ich zeigen, daß A regulär ist und dann soll ich auch noch ihre Inverse bestimmen. Kann mir dabei jemand helfen? (Was bedeutet regulär...) |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Mai, 2000 - 17:08: |
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Hallo Sandy,
Eine quadratische Matrix (n,n) heißt regulär wenn ihr Rang gleich n ist.
Dies ist genau dann der Fall wenn ihre Determinante nicht gleich Null ist.
Ansonsten heißt die Matrix singulär.
Zu einer regulären Matrix gehört immer eine inverse Matrix.
Die Multiplikation einer Matrix mit ihrer inversen Matrix ergibt immer die Einheitsmatrix.
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Zum Beispiel
Zuerst musst du zeigen, dass die Determinante nicht Null ist: nur dann existiert die inverse.
Die Berechnung von inversen Matritzen ist mühsam.
Am Besten ein Computerprogramm benützen!
Ein Algorithmus, um rechnerisch zum Ziel zu kommen ist:
Man erweitert die Matrix mit der Einheitsmatrix und reduziert diese neue Matrix nach dem üblichen Gauß Verfahren. Dann ergibt sich am Ende links die Einheitsmatrix und rechts die gesuchte inverse Matrix.
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1/3 -2/3 1/3 1/3
0 1 1 1 0 1 0 0 reduziert: 0 1 0 0 1/3 1/3 -2/3 1/3
1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1/3 1/3 1/3 -2/3
1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -2/3 1/3 1/3 1/3
Die letzten 4 Kolonnen bilden die inverse Matrix.
Zur Probe kannst du (Matrix) mal (inverser Matrix) bilden.
Egal ob Links- oder Rechtsmultiplikation. Muss Einheitsmatrix ergeben.
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Es gibt auch noch andere Verfahren, insbesondere das dir sicher bekannte mit den Determinanten und adjunkten Determinanten. Dies ist aber mehr von theoretischem Wert. |
Sandy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Mai, 2000 - 17:15: |
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Boah! *staun*
Vielen lieben Dank, Fern. |
Sandy
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 11:46: |
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Ich kam beim reduzieren nicht aufs Ergebnis(*wein).
Welche Schritte gehst du denn (nach Gauß)? Kannst du mir das noch bitte kurz zeigen?((-1)*Z1-Z2...) |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 13:04: |
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Hallo Sandy,
Schritte sind wie folgt:
Z4: -Z1+Z3....d.h. Zeile 4 wird ersetzt durch (-1)*Zeile 1 plus Zeile 3
Z4: -Z1+Z4
Z3: Z2+Z3
Z4: Z3+Z4
Z3: (-2/3)*Z4+Z3
Z2: -Z3+Z2
Z1: -Z2+Z1
Z1: -Z3+Z1
Z1: (1/3)*Z4+Z1
Z2: (-1/3)*Z4+Z2
Z4: (1/3)*Z4
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Sandy
| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Juni, 2000 - 13:24: |
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Danke |
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