| Autor |
Beitrag |
    
Michel Chételat (Michel)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 13:12: | 
|
Hi zusammen!
Ich habe Probleme zu integrieren:
Hier die Aufgaben:
Berechne das unbestimmte Integral folgender Funktionen:
a) f: x--->(e^x)cos(x)
b) Leite ab: ln(1+x^2)
f: x--->Arccot(x)
thx für die Hilfe
Gruss
michel |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Mai, 2000 - 13:54: |
|
Hi Mitch,
Vorgängig notiere ich die Formel der partiellen Integration, damit
Du die von mir benützten Bezeichnungen kennen lernst:
int ( f ( x ) * g ' ( x ) dx ) = f (x) * g(x) - int ( g ( x ) * f ' ( x ) dx )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Zum ersten Integral
Wir integrieren zweimal partiell und erhalten dadurch eine Gleichung
für das gesuchte Integral
J = int ( e^x * cos x dx)) .
Wir setzen
f(x) = e ^ x und g ' (x) = cos x ; es ist dann: g ( x ) = sin x , also
J = e ^ x * sin x - int ( e ^ x * sin x) dx)
Auf das Integral rechts wenden wir nochmals partielle Integration an
Wir setzen neu:
f(x) = e ^ x , g ' (x) = sin x ,daraus g(x) = - cos (x) ; es kommt:
J = e ^ x * sin x - [ e^x * ( - cos x ) - int ( e ^ x * ( - cos x) dx)
= e ^ x * sinx + e ^ x * cos x - J
daraus berechnen wir leicht das gesuchte Integral J :
J = 1 / 2 * e ^ x * ( cos x + sin x).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Zum zweiten Integral.
Vorbemerkung: Wenn in einem Integral der Integrand ein Bruch ist ,
in dessen Zähler die Ableitung des Nenners steht, so ist das unbestimmte
Integral gleich dem logarithmus naturalis des Nenners.
Hier setzen wir f(x) = arc cotg x , g'(x) = 1 , also g(x) = x
Wir erhalten für das gesuchte Integral
K = int (arc cotg x dx) = int ( 1 * arc cotg x dx ) =
x * arc cotg x - int ( x * [ - 1 / ( 1 + x ^ 2 ] ) dx =
x * arc cotg x + 1 / 2 * int ( 2 * x / [ 1 + x ^ 2 ] dx,
somit wegen der Vorbemerkung:
K = x * arc cotg x + 1 / 2 * ln ( 1 + x ^ 2 ) voilà !
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° |
|
