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Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 18:54: | 
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Wie berechne ich die den Winkel alpha (zwischen a und b) mit Cos alpha? z.b.:
Vektor a 3/5
Vektor b 2/7
Ich schreib morgen die Klausur. Bitte helft mir schnell |
Bjoern Weiland (Bjoern)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 21:53: |
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Mit Hilfe des Skalarproduktes:
cos (alpha) = [(verktor a)*(vektor b)]/[(betrag von vektor a)*(betrag von vektor b)]. Dann auf dem Taschenrechner INV COS oder COS (hoch minus eins), um den Winkel zu berechnen. Der Betrag eines Vektors errechnet sich folgendermaßen: Wurzel aus(a1^2+a2^2+a3^2)
Viel Glück! |
Heiko
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. September, 2000 - 19:10: |
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Ich muß diese Aufgabe lösen, komm aber nicht recht weiter:
Es sei g=(AB),E1=(P1Q1R1) und E2=(P2Q2R2).Berechne die Abstände d(A,E1), d(A,E2),
d(P1,g),d(P2,g) und die Winkel <(g,E1),<(g,E2),
<(E1,E2);bestimme die dabei benötigten Normalenvektoren mit Hilfe des Vektorprodukts
A(2/4/0),B(6/3/1),P1(0/2/5),Q1(-3/-1/6),R1(8/7/11),P2(3/0/4),Q2(7/1/1),R2(1/1/1)
Danke... |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 17:16: |
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Geradengleichung von g ergibt sich z. B. aus dem Ortsvektor von A als Stützvektor, dem Ortsvektor von B minus dem von A als Richtungsvektor, also so:
Im Prinzip war diese jetzt unnötig, wenn der Schnittpunkt von g mit irgendwas nicht bestimmt werden soll, benötigt wird lediglich der Richtungsvektor u von g, also
u=
Der Normalenvektor n der Ebene E1 steht senkrecht auf ihr, das heißt, er steht auch senkrecht auf den Verbindungsvektoren zwischen den Punkten P1, Q1 und R1, die auf E1 liegen.
Diese Verbindungsvektoren sind:
v, Ortsvektor von R1 - Ortsvektor von P1:
und w, Ortsvektor von R1 - Ortsvektor von Q1:
Das Vektorprodukt dieser beiden ist
| 5*5 - 6*8 | | 6*11 - 8*5 | | 8*8 - 5* 11 |
also ist ein errechneter Normalenvektor n zu E1 gleich (-23,26,9) (Zeilenschreibweise, weil's einfacher ist)
Der Normaleneinheitsvektor n0 ergibt sich, indem man den oben errechneten Normalenvektor n durch seinen Betrag dividiert:
|n| = Ö((-23}²+26²+9²) = 35.86 in etwa
jetzt diesen Normaleneinheitsvektor n0 zusammen mit dem Ortsvektor von A in die Abstandsformel Punkt-Ebene einsetzen:
d = |n0 * (p-a)|
wobei p als Stützvektor der Ebene gleich dem Ortsvektor von P1 sein kann, a ist der Ortsvektor von A.
d = 1/35.86 (-23,26, 9) * [(0,2,5)-(2,4,0)]
d = 1/35.86 (-23,26, 9) * (-2,-2,5)
d = 1/35.86 (-23*(-2)+26*(-2)+9*5)
d = 1/35.86 (46-52+45)
d = 1.0875 in etwa
Der Winkel a zwischen Gerade g mit Richtungsvektor u und Ebene E1 mit Normalenvektor n errechnet sich nach der Beziehung
sina = |u*n|/(|u||n|)
mit u=(4,-1,1) und n=(-23,26,9) also
sina = |4*(-23)+(-1)*26+1*9)|/(Ö(16+1+1)*35.86)
sina = 0.7164
a = 45.76° etwa.
Für das Problem "Abstand des Punktes P1 von der Geraden g" definierst du dir eine Hilfsebene H, die senkrecht auf g steht, deren Normalenvektor also gleich dem Richtungsvektor u von g ist und die den Ortsvektor von P1 als Stützvektor beinhaltet, stellst die Hesse-Form der Ebenengleichung für H auf:
H: u*(x-p1) = 0 wobei x der allgemeine Vektor der Ebene H ist.
Anschließend bestimmst du den Schnittpunkt S (mit Ortsvektor s) von g und H und seinen Abstand von P1,letztendlich benutzt du die Gleichung
d = |u*(s-p1)|
Wenn du nicht weiter kommst, frage nochmal nach. |
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