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Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2000 - 10:46: | 
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Hallo,
angesichts des sonstigen Niveaus auf diesem Nachrichtenbrett ist es mir zwar schon irgendwie peinlich diese Frage zu stellen, ich wage es aber dennoch. Folgendes Problem bei der Bildung von Stammfunktionen:
f(x)= 1/ (3x+1)^2 ... F(x)= -1/ 3*(3x+1) (wobei / als Bruchstrich und alles Folgende als Nenner aufzufassen ist)
Wie komme ich da Schritt für Schritt und ganz ausführlich drauf? Sind das alles Kettenregeln hintereinander? Ebenfalls habe ich bei folgender Aufgabe selbige Schwierigkeiten:
f(x)= 2x/ (x^2+1)^2 ... F(x)= -1 / x^2+1 (wie oben)
Wäre für eine ausführlich Erklärung mehr als nur dankbar!
Bis dann! |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2000 - 12:48: |
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Hi Anonymous,
Zu Deiner ersten Frage:
Ja, im gewissen Sinne hat das mit der Kettenregel zu tun, allerdings nennt man das folgende Verfahren die "Umkehrung der Kettenregel".
Bilden wir das Integral von f(x), wobei die Grenzen zunächst unberücksichtigt bleiben sollen:
ò(1/(3x+1)^2 dx
Überlegen wir uns, wie man die Stammfunktion F(x) ermitteln könnte. Am einfachsten wäre es, hier ide sog. "Integration durch Substitution" durchzuführen. Das entspricht dem Umkehren der Kettenregel. Wie macht man das?
Man wählt einen Term z so, das man durch geschicktes Umformen auf ein Grundintegral kommt, welches sich dann einfach lösen läßt. Dieser Term z ersetzt nun in f(x) einen Ausdruck. Setzen wir probehalber z=3x+1, also ersetzen wir dem Term in den Klammern.
Dann ergibt sich für die Funktion f(x):
f(z)=1/z^2.
Um zu Integrieren, müssen wir ein paar Vorbereitungen treffen:
Zum einen will ich zeigen, dass das neue Intergral
ò1/z^2 dx mit dx als Integrationsdifferential keinen Sinn macht, denn jetzt soll nach z integriert werden, dann müßte nämlich dort dz stehen. Wie "bauen" wir das Integral um? Dabei verwenden wir folgende Beziehung:
dy dz
-- = f'(x). Dann ist -- = z'
dx dx
Miz z=3x+1 ist z'=3. Löst man die Beziehung oben nach dx auf, dann ergibt sich 1/3dz=dx.
Und das setzen wir nun in unser neues Integral ein:
ò1/3*1/z^2 dz. Vereinfachen ergibt
1/3ò1/z^2 dz.
Und dieses Integral kann man jetzt leicht bestimmen. Indem man also nach z integriert erhalten wir F(x)=1/3[-1/z] (Schreibe dazu zunächst 1/z^2 als z^-2 und integriere dann)
Setzen wir abschließend noch z=3x+1 zurück, dann lautet unsere Stammfunktion F(x) vollständig:
F(x)=-1/3(1/3x+1) Das war zu zeigen.
Zu Deiner zweiten Frage:
Diese Aufgabe ist eine gute Übung. Man verfährt genauso wie in der ersten Aufgabe. Kleiner Tip: Die Substituion ist z=x^2+1. Wenn Du fortfährst, erkennst Du das sich 2x im Zähler kürzen läßt und sich ein einfaches Integral ergibt. Probiere es bitte selbst einmal aus, bei Fragen melde Dich bitte bei mir hier im Forum (eMail Adresse ist leide ausser Betrieb)
Und noch etwas: Zur Integration durch Substitution muss man gute Ideen haben, besonders dann wenn die Integrale schwieriger werden. Verzweifele nicht! Selbst routinierte Mathematiker müssen manchmal lange probieren, bis sie eine Möglichkeit gefunden haben!
Viele Grüße
Oliver |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Mai, 2000 - 12:51: |
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Sorry, da ist was durcheinandergeraten:
Richtig heißt es:
dy
-- = f'(x) = y'
dx
also
dz
-- = z'
dx |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Mai, 2000 - 18:24: |
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Wow, vielen vielen Dank für Deine Erklärung! Echt klasse! Ich glaube, ich werde jetzt öfter Euer Gast sein!!!
Herzlichen Dank und bis bald! |
Regina
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 18:55: |
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Hallo! Ich suche den Beweis für Folgendes:
f(x)=(1-x^2)^1/2
F(x)= 1/2*arcsinx + x/2*(1-x^2)^1/2
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen würde. |
doerrby
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 20:18: |
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Dazu musst Du wissen, dass die Ableitung vom arcsin gleich 1/Wurz(1-x2) ist.
Damit leitest Du F(x) ab und kriegst f(x) raus.
F'(x) = ½ 1/Wurz(1-x2) + ½ Wurz(1-x2) + x/2 * 1/(2*Wurz(1-x2))*(-2x)
= 1/(2*Wurz(1-x2)) * ( 1 + (1-x2) + (-x2) )
=...= Wurz(1-x2)
Gruß Dörrby |
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