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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 22:34: | 
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Hallo,
habe in diesem Forum eine interessante Methode gefunden, mit der man die Koeffizenten der Partialbrühce noch schneller bestimmen kann.
Es sei f(x)=q(x)/p(x)
Dabei ist dann
A1=q(a)/p'(a)
A2=q(b)/p'(b) usw.
usw.
a;b sind die Nullstellen von p(x)
Wie läßt sich dieses Verfahren herleiten?
Was für Einschränkungen gibt es? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. Mai, 2000 - 10:47: |
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Salve anonyme,
Der Einfachheit halber leite ich das von Dir erwähnte Verfahren
für genau zwei Nullstellen des Nenners q(x) her
Sei f(x) = p(x) / q(x)
Voraussetzungen: q(a) = q(b) = 0 ( a , b verschieden)
p(a) und p(b) sind von null verschieden
Ableitungen q'(a) und q'(b) von null verschieden
Die Zerlegung sei:
p(x) / q(x) = A / (x-a) + B / (x-b) ; Es sind die Konstanten A und B zu bestimmen und zwar nach Möglichkeit mittels Differentialrechnung
Das ist möglich und geht so:
Multiplikation beider Seiten mit (x-a):
p(x)/q(x) * (x - a) = A + (x-a) [B/(x-b)]
Jetzt strebe x gegen a im Sinne eines Grenzübergangs.
Wir erhalten ( Limes im erwähnten Sinn ) :
A = l i m { p(x) /q(x) * ( x- a ) } ;
der Rest ist von der Bildfläche verschwunden !
p(x) strebt gegen p(a) und wird aus dem Limes herausgezogen:
A= p(a) * lim { ( x - a) / (q(x) - q(a))}
Hast Du den Kunstgriff oder Trick bemerkt, den ich im Nenner
ausgeführt habe ?
Ich habe q(a) eingeschmuggelt; das schadet nichts , da ja q(a) null ist,
das Verfahren selbst ist aber von enormem Nutzen, wie die folgenden
Schritte zeigen
Wir stellen unter dem Limes -Zeichen einen Doppelbruch her und
der Nenner dieser Doppelbruches ist wunderbarerweise gerade der Differenzenquotient der Funktion q(x) an der Stelle a , der bekanntlich
bei der Ausführung des genannten Grenzüberganges gegen die Ableitung
von q(x) an der Stelle a strebt
Genug der vielen Worte; die Taten sehen so aus:
A = p ( a ) * l i m { 1 / [ ( q(x) - q(a) ) / ( x - a )]}, (x strebt gegen a)
A = p(a) * 1 / q'(a) = p(a) / q' ( a ) quod erat demonstrandum
Analog kann B ermittelt werden: B = p(b) / q' (b)
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Zum Abschluss : ein numerisches Beispiel:
f(x) = ( x + 8 ) / ( x ^ 2 + x - 2)
Hier ist a = 1 , b = - 2 , p(x) = x + 8, q(x) = x^2 + x - 2 , q ' (x ) = 2x + 1
Damit erhalten wir: A = 9 / 3 = 3 , B = 6 / -3 = - 2
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Besten Dank für die Geduld und freundliche Grüsse
H.R. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Mai, 2000 - 21:50: |
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Hallo H.R. Moser,
danke für den Beweis. Faszinierend!
Da stellt sich gleich noch eine Zusatzfrage:
Was wäre, wenn es einen irreduziblen Term im Nenner gibt, bezügl. der obigen "Formel". Die Frage ist, ob es eine Erweiterung zu ihr gibt da ja ein irreduzibler Term, meinetwegen der Form
ax^2+bx+c in der Partialbruchzerlegung so aussieht:
(Ax+B)/(ax^2+bx+c) (Wobei A;B die Koeffizenten sein sollen)
Gibt es auch hierzu eine Formel, die A UND B bestimmt? Der Koeffizientenvergleich ist wie hinlänglich bekannt ist, sehr aufwendig. Einzig die Alternative der Faktoreliminierung ist zeitlich vertretbar. Wäre toll wenn es hierzu noch einen Trick gibt.
Vielen Dank! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Mai, 2000 - 14:00: |
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Hi
Deine Rückmeldung auf meine Ausführungen zu Deiner Frage
hat mich gefreut, und Dein Interesse an den Partialbrüchen
hat mich gewaltig angespornt
Um Deine Zusatzfrage zu beantworten, habe ich in der
einschlägigen Literatur nachgesehen, und bin nicht "fündig"
geworden. Das war zu erwarten Alle Verfasser der von mir
konsultierten Lehrbücher drücken sich elegant um das Problem
herum. Es ist vielleicht das beste, wenn Du die Koeffizienten nach
althergebrachter Art und Weise ermittelst.
Um dich aber nicht zu enttäuschen , habe ich von mir aus
- gewissermassen ad hoc - Formeln entwickelt, in denen
Ableitungen vorkommen und welche Dich hoffentlich
beeindrucken werden.
Es geht um die Partialbruchentwicklung für den folgenden Fall:
f(x) = p(x) / q(x)
p(x) ist ein quadratisches Polynom, q(x) ein Polynom dritten
Grades mit der reellen Nullstelle c (nicht null) und den beiden
konjugiert komplexen Nullstellen a + i b und a - i b .
Weiterhin soll die Ableitung q'(x) bei x = c von null verschieden sein.
Für die Koeffizienten A , B und C in der Zerlegung
p(x) / q(x) = p(x) / { [(x - a)^2 + b^2]*(x - c )} =
(A x + B) / [(x - a) ^ 2 + b ^ 2 ] + C / (x-c) gilt dann:
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Kleine Megamath - Formeln
(1) C = p ( c ) / q ' ( c ) wie früher
(2) c * B = p ( c ) / q ' ( c ) * [a^2 + b^2] - p( 0 )
N.B. in der eckigen Klammer steht die sogenannte Norm
der komplexen Zahl
(3) c^2 * A = p ( c ) / q' ( c ) * {a^2 + b^2 - 2 a*c}- p ( 0 ) - c* p' (0)
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Anmerkung
Man sehe sich die Struktur der Formeln vom ästhetischen Standpunkt
aus an. Die Komplexität der Formeln liegt in der Sache selbst begründet !
Ein Trost: man braucht sie ja nicht auswendig zu lernen.
Jedoch möchte ich auf einen wichtigen Aspekt hinweisen
Die Formeln eignen sich sehr gut, in einem Computerprogramm
(Basic, Pascal etc) verarbeitet zu werden; im Handumdrehen erscheinen die Koeffizienten A,B,C auf dem Display.
Einen Beweis der Formeln halte ich in petto; ich möchte ihn aber nur auf ausdrücklichen Wunsch hier vorführen.
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Zum Abschluss sollen noch zwei Beispiele durchgerechnet werden
1.Beispiel
p(x) = x^2 + 4 x + 8 , q (x ) = x^3 - 2 x ^2 + x - 2
a = 0 , b = 1, c = 2
p ( 0 ) = 8 , p ( c ) = 20 , p' ( 0 ) = 4
q ' ( c ) = 5
mittel der kelinen Megamath -Formel kommt:
C = 20 / 5 = 4
2 * B = 4 - 8 = - 4 , also B = - 2
4 * A = 4 - 16 = - 12 , also A = -3
somit : p(x) / q(x) = (-3 x -2 ) / [x ^ 2 + 1 ] + 4 / ( x - 2 ) ; BRAVO !
2.Beispiel
p( x ) = 4 x ^ 2 + 6 x + 9 , q ( x ) = x ^ 3 + x + 10
a = 1 , b = 2 , c = - 2
p ( 0 ) = 9 , p ( c ) = 13 , p ' ( 0 ) = 6
q ' ( c ) = 13
mit den kleinen Megamath -Formeln erhalten wir:
C = 13 / 13 = 1
-2* B = - 4 , daraus B = 2
4 * A = 3 * 4 , daraus A = 3
somit gilt: p ( x ) / q ( x ) = (3 x + 2 ) / [ (x - 1 ) ^2 + 4 ] + 1 / ( x + 2 ) ;
nochmals BRAVO !
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Das sollte vorerst genügen!
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser, megamath
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