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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 13:16: | 
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Aufgabe:
Zeigen Sie, das
cos(arcsin(x))=(1-x^2)^0,5 ist.
Frage:
Den Beweis zu führen ist nicht schwer, wenn man die Beziehung arcsin(x)=arccos(1-x^2)^0,5 benutzt und zusätzlich noch die Indentität f(f^-1(x))=x anführt. Aber wie kann man zeigen, das arcsin(x)=arccos(1-x^2)^0,5 gilt?
Wie kann man weiterhin zeigen, das arcsin(x)+arccos(x)=Pi/2 ist?
Vielen Dank im Voraus! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 13:19: |
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Hups, da habe ich noch eine wichtige Frage vergessen:
In (fast) allen Mathe-Büchern findet man das Integral der Arcus-Funktionen schon vorgegeben, ohne eine Herleitung anzuführen.
Frage:
Wie kann man arcsin(x) (unbestimmt) integrieren?
Unmittelbar damit verbunden sind die Fragen nach Integrationstechniken für arccos(x) und arctan(x)!
Auch hierfür vielen Dank im Voraus! |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 16:33: |
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Hallo Anonym,
Ich zeige ò arcsin(x)dx
Partielle Integration: ò udv=uv-ò vdu
dv=dx
v=x
u=arcsin(x)
du/dx=1/W(1-x²)
ò arcsin(x)dx=
=x*arcsin(x)-ò x/W(1-x²)dx=
=x*arcsin(x)+½ò (1-x²)-½*(-2x)dx=
=x*arcsin(x) + W(1-x²) + C
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franz
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 18:29: |
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Partielle Integration (I=INTEGRAL, W=WURZEL) Iuv'dx=uv-Iu'ddx, u:=arcsinx, v':=1, Iarcsinx*1dx = x*arcsinx + I(-xdx)/W(1-x²) .. z:=1-x² substituieren .. =xarcsinx + W(1-x²) + C. arccosx und arctanx analog.
y:=arcsinx, sin²y+cos²y=1,
cosy=W(1-sin²y),
cos(arcsinx) = W(1-sin²arcsinx)=W(1-x²)
arccos(cos(arcsinx)) = arccosW(1-x²)
arcsinx=arccosW(1-x²) qed.
y:=arcsinx, siny=cos(pi/2 -y)
arccos(sin(arcsinx))=pi/2 -arcsinx
arccosx+arcsinx=pi/2 qed.
F. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Mai, 2000 - 18:53: |
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Hi franz,
Schreibst du jetzt alle meine Lösungen nochmals ab? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 11:51: |
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An die Freunde zyklometrischer Funktionen,
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Als Fitnesstraining löse man die Gleichung
sin { 2 * arccos [ ctg ( 2 * arctan ( x ) ) ] } = 0 nach x auf .
Anmerkung : Sogar Computeralgebra - Systeme lösen
die Gleichung problemlos !
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Mit freundlichen Grüssen
H.R |
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 13:38: |
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Hallo Fern,Franz
danke für die Antwort. Allerdings komme ich bei dem Beweis von Franz für arcsin(x)=arccos(W(1-x^2) ) an der Stelle
cos(arcsinx) = W(1-sin²arcsinx)=W(1-x²)
arccos(cos(arcsinx)) = arccosW(1-x²)
nicht weiter. Der Übergang ist mir schon klar, es wurde dann nochmal der arccos auf beide Seiten der Gleichung angewendet. Aber wie kann man dann von
arccos(cos(arcsinx)) auf arcsin(x) schließen???
Genauso ist es beim Beweis für
arcsin(x)+arccos(x)=Pi/2
Ich bitte noch um eine etwas ausführlichere Darstellung. Vielen Dank!!!
Tom |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 15:58: |
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Hallo megamath, x=W(2)-1 ?? Gruß Franz. |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 16:00: |
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Hallo Tom, (1) per Definition arccos(cos(z))=z, mit z:=arcsin(x) also arccos(cos(arcsin(x))) = arcsin(x). (2) Die Beziehung siny=cos(pi/2 -y) zwischen sinus- und cosinus-Funktion ist am Einheitskreis sofort evident; man findet sie auch in Formelsammlungen. Mit y:=arcsinx also sin(arcsinx) = cos(pi/2 - arcsinx); den cos rechts löst man wieder auf durch arccos auf beiden Seiten: arccos(sin(arcsinx)) = arccos(cos(pi/2 -arcsinx)) und links wieder per Definition sin(arcsinx)=x. Also arccosx=pi/2 - arcsinx, arcsinx+arccosx=pi/2. F. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 17:12: |
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Bravo Franz,
Deine Lösung trifft ins Schwarze !
Neben dem von Dir angegebenen Resultat gibt es noch
drei andere, es gelten nämlich alle möglichen
Vorzeichenkombinationen bei wurzel(2) und beim Summand
eins, ausserdem sind x= 1 und x = -1 ebenfalls Lösungen !
Bei Gelegenheit und bei Bedarf werde ich gerne einen
Lösungsweg zeigen
Mit freundlichen Grüssen
H.R.,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Mai, 2000 - 17:32: |
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Hi Tom,
Es kann wirklich nichts schaden, wenn Deine Anfrage
von drei verschiedenen Seiten her beantwortet wird:
Motto : "mehrfach genäht, hält besser" !
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Zur ersten Frage:
Ein Beweis Deiner Behauptung: arc sin x = arc cos (wurzel(1-x^2))
Wir setzen arc sin x = z ; damit ist gleichbedeutend (Doppelpfeil):
x = sin z und cos z = wurzel ( 1 - x^2 ) , also
z = arc cos (wurzel(1-x^2)) wzbw.
Nullrunde: Ableitungen der zyklometrischen Funktionen
Ableitung der Funktion y = arc sin x
Wiederum gilt x = sin y und für den Differentialquotient
dx /dy = cos y = wurzel ( 1 - x^2 )
Für die Ableitung dy / dx von arc sin x gilt nach dem Satz über
die Ableitung der Inversen einer Funktion:
dy/dx = 1 / (dx/dy) = 1 / wurzel (1-x^2)
Analog finden wir die Ableitung der arc tan - Funktion y = arc tan x:
Aus x = tan y folgt dx / dy = 1 + tan ^2 y = 1 + x ^ 2.
Der Uebergang zum Reziproken liefert:
dy / dx = 1 / ( 1 + x^2) als Ableitung der arc tan - Funktion.
Zu deiner zweiten Frage
Die arc cos -Funktion kann partiell integriert werden, indem der
Faktor 1 (eins!) vor arc cos x gesetzt wird:
(int (arc cos x ) dx ) = (int (1 * arc cos x ) dx ) =
x * arc cos x - ( int (- x / wurzel (1 - x^2)) =
x * arc co x - wurzel (1- x^2 )
Bei der Integration der arc tan -Funktion gehen wir analog vor:
(int(arc tan x)dx) = (int 1*arc tan x ) dx =
x * arc tanx - ( int ( x / (1+ x ^2 ) dx )
= x * arc tan x - ½ * ln ( 1 + x ^ 2 )
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Gruss
H.R.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 07:46: |
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Hi Tom,
Motto:
Wir setzen Dir mit den zyklometrischen Funktionen ganz gewaltig zu.
und lassen Dir damit keine Ruh !
Die Beziehung
arc sin x + arc cos x = Pi /2
lässt sich mittels der Differentialrechnung elegant beweisen, nämlich so:
Wir betrachten im x- Intervall [-1,1] die Funktion
F(x) = arc sin x + arc cos x und leiten sie nach x ab; es kommt:
F ' (x) = 1 / wurzel (1 - x ^ 2 ) - 1 / wurzel (1- x ^ 2 ) = 0
Die Ableitung F ' (x) der Funktion F(x) ist somit für alle x null;
das kann nur bedeuten, dass F(x) eine Konstante C ist , also gilt:
F (x) = arc sin x + arc cos x = C
Um diese Konstante C zu bestimmen, setzen wir für x einen
beliebigen Wert ein, einen Wert, der sich für die Berechnung
besonders eignet
Beispiel: x = 0 :
Mit diesem Wert erhält man
arc sin 0 + arc cos 0 = C , also
0 + Pi / 2 = C
Somit gilt : C = Pi / 2 , wzbw.
Anmerkung.
Mit derselben Methode lässt sich z .B. die folgende Formel beweisen:
2* arc tan x + arc sin [(1 - x ^ 2 ) / ( 1 + x ^ 2 )] = Pi / 2
Die Aufgabe, die linke Seite nach x abzuleiten und gebührend
zu vereinfachen, ist allerdings um einiges schwieriger als im
vorigen Beispiel. Wir überlassen diese Strapaze lieber Anderen !
Damit soll von mir aus das Kapitel abgeschlossen sein !
Mit freundlichen Grüssen
H.R. ! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 14:04: |
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Hallo H.R. Moser,
herzlichen Dank für die Antworten. Der Beweis in der letzten Antwort ist wirklich sehr elegant. Da "plagt" mich aber noch zwei Fragen:
(1) Am Einheitskreis kann man ablesen, dass
sin^2(x)+cos^2(x)=1 ist.
Warum gilt aber sin^2(y)+cos^2(y)=1 ?
Eigentlich ist doch sin(y)=x die implizite Darstellung von arcsin(x)=y. Deswegen müsste doch sin^2(y)=x^2 (ebenso cos^2(y)=x^2) und damit 2x^2=1 sein. Wo liegt die Falle?
(2) Zur Ableitung von arctan(x):
Man findet
(arctan(x))' = 1/(1+x^2)
Die Herleitung zu dieser Ableitung ist mir absolut einleuchtend (Siehe ANALYSIS II von Keil/Kratz/Müller/Wörle; dort ist das - wie alles in dem Buch - sehr gut gemacht) Eines allerdings stört mich ein wenig:
Ausführlich:
(arctan(x))'= 1/(1/cos^2(arctan(x)))
das ist aber doch gleicbedeutend mit
(arctan(x))'= cos^2(arctan(x))
Entwickelt man bekannten Umformungen, so ergibt sich
(arctan(x))'= 1 - sin^2y und damit
= 1 - x^2
Das ist aber nicht das selbe wie die andere Ableitung für arctan(x), zumindest aber ist sie eine gute Approximation. Wie erklärt sich das Ergebnis? Was mache ich da falsch?
Viele Grüße und danke im Voraus! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. Mai, 2000 - 17:55: |
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Hi,
Es folgt eine kurze Antwort auf Deine beiden Fragen
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Zur ersten Frage:
Lass uns neu beginnen.
Rechtwinkliges Koordinatensystem , Nullpunkt O
Einheitspunkt A ( 1 / 0 ) auf der x-Achse
Punkt P ( x / y ) auf dem Einheitskreis x ^ 2 + y ^ 2 = 1,
meinetwegen im 1. Quadrant.
Winkel u = Winkel zwischen der +x-Achse und dem Strahl OP
im Bogenmass.
Dann gilt: u ist die Masszahl der Bogenenlänge des Kreises von
A bis P ( bitte rot anmalen )
x = O P ' = cos u ( grün anmalen ) ,
y = P ' P = sin u ( gelb anmalen )
wobei P' die senkrechte Projektion des Punktes P auf die x -Achse ist
Willst Du auch noch den Tangens von u sehen ?
Lege im Punkt A die Kreistangente und schneide diese mit dem Strahl OP im Punkt T
Dann stellt die Masszahl z der Strecke AT gerade tan u dar ( orange anmalen)
z = tan u
Jetzt hast du alles , was Du brauchst und Du bist gegen Verwechslungen gefeit
Es gelten die Beziehungen : roter Bogen u = arc cos x = arc sin y = arc tan z
Noch etwas: Wenn Du die Beziehung sin^2 u + cos^2 u = 1 hergeleitet hast, gilt dies für alle Argumente des Winkels, also auch für u, v -- zeta usw: , also
sin ^2 (omega) + cos ^2 (omega) = 1
Du kannst aus der Figur noch eine weitere wichtige Beziehung herleiten,
welche den Tangens betrifft.(wir benötigen die Formel im zweiten Teil)
Im Dreieck OAT gilt OA = 1 , AT = tan u, daher nach Pythagoras
OT = wurzel (1 + tan ^2 u) somit nach Definition des Cosinus:
cos u = OA / OT = 1 / (wurzel (1 + tan ^2 u) )
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Zum zweiten Teil
Deine Schwierigkeit mag davon herrühren , dass für die Ableitung der Tangensfunktion zwei formal verschiedene, aber äquivalente Ausdrücke gebräuchlich sind:
(tan x) ' = 1 / cos ^2 x = 1 + tan ^2 x
In meinem letzten Beitrag habe ich die zweite Version benützt , im
folgenden benütze ich die erste.
Also aufgepasst !
y = arc tan x ist gleichbedeutend mit x = tan y , wir bilden dx / dy :
dx / dy = 1 / cos^2 y = 1 + tan^2 ^ y nach der soeben hergeleiteten Formel
Somit:
dy / dx = 1 / ( 1+ tan ^2 y) = 1 / ( 1 + x ^2), quod erat demonstrandum !
Wir sind am Ziel; bravo
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser |
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