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Beitrag |
    
Stefanie Rothkopf (Steffili)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Mai, 2000 - 13:11: | 
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Hallo Mathe-Experten.
folgende Aufgabe (auch zur Abi-mdl. Vorbereitung gut geeignet) aus Klasse 12, Abendgymnasium Aachen:
Gegeben sei eine Funktion f(x)=x^2 mit x Element aus D[0;1].
Es sei P(x/y) mit x Elemtent aus D ein Punkt auf einer Geraden parallel zur D-Achse.
Zwischen der Geraden und dem Funktionsgraphen entstehen zwei Flächen, A1 und A2.
a)Berechnen Sie die Maßzahlen A1 und A2.
b) Für welche Zahl x nimmt A gesamt =A1+A2 ein absolutes Minimum an?
Diese Aufgabe brauch ich heute abend zur Vorführung.Das bedeutet, ich sollte sie möglichst ausführlich erklären können.
Vielleicht hat jemand Zeit für mich und meine Aufgabe... Schnief!
Gruß und Dank, Steffi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Mai, 2000 - 17:09: |
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Hi Stefanie
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Vorab: Wegen der Kurvengleichung gilt immer y = x^2 .
A1 ergibt sich als Differenz der Rechtecksfläche x * y
und der Fläche unter der Parabel von 0 bis x, somit
als das entsprechende Integral über x^2 von 0 bis x:
A1 = x * y - ( int ( t ^ 2 * dt )) in den genannten Grenzen
(um Verwechslungen zu vermeiden, wurde als
Integrationsvariable t statt x gewählt),
somit:
A1 = x * y - x ^ 3 / 3 = x ^ 3 - x ^ 3 / 3 = 2 /3 * x ^ 3
(y durch x^2 ersetzt)
A2 ergibt sich ebenfalls als Differenz, und zwar aus dem
Integral über x ^ 2 ( jetzt aber :untere Grenze x ,obere Grenze 1 )
und der Rechtecksfläche ( 1 - x ) * y;
A2 = (int (t^2*dt) in den genannten Grenzen minus ( 1- x ) * y;
Somit:
A2 =1 / 3 - x ^3 / 3 - (1- x )*y =1/3 - x ^3 / 3 - (1-x) * x^2,
also:
A2 = 2 / 3 * x ^3 - x ^2 + 1 / 3 ; damit erhalten wir für die Summe der
beiden Flächen
A = A1 + A2 = 4/3 * x^3 - x^2 + 1/3.
Wir leiten A nach x ab:
A' (x) = 4 * x ^ 2 -2 * x ; A' = 0 für x = 1 / 2 ;
die zweite Ableitung ist A '' (x) = 8 x - 2 ,
bei x = 1 / 2 erhalten wir ein Minimum für Summe A
(die zweite Ableitung ist für x = 1 / 2 positiv ) ;es liegt sogar
ein absolute Minimum für A im x-Intervall [0,1] vor ,wie ein
Vergleich dises Minimalwertes A(1 /2 ) = 1 / 4 mit den
Randwerten A(0) = 1/3 und A(1) = 2 / 3 zeigt.
Damit ist die Aufgabe befriedigend gelöst !
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.
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