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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2044
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 09:13: | 
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Hi allerseits,
Als Fitnessübung möchte ich die folgende Aufgabe
stellen; Bemühungen um Lösungen sind erwünscht,
aber eine durchaus freiwillige Angelegenheit.
Aufgabe
Ein Rotationszylinder ist durch den Radius r = 6 und
eine Parameterdarstellung der Achse g gegeben:
g:
x = 2t , y = t , z = 2t.
Man ermittle:
a) eine Koordinatengleichung der Zylinderfläche;
b) Für die Schnittebene z = 0 die Gleichungen der
beiden Dandelinkugeln;
c) die Koordinaten der beiden Brennpunkte F1, F2
der Schnittellipse mit der Ebene z = 0
als Berührungspunkte der Dandelinkugeln.
d) Die Halbachsen a, b der Schnittellipse mit der
Ebene z = 0.
Viel Vergnügen !*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 689
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 12:36: |
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Hi,
ich hab mal a) versucht, mein Vorschlag:
5x²+8y²+5z²-4xy-8xz-4yz=324
bzw geordnet
(x-2y)²+(2x-2z)²+(2y-z)²=18²
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2045
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 13:12: |
|
Perfekt; mach weiter!
Es gibt virtuelles Bier für jede gute Antwort
von
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 690
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 14:38: |
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Hm,
also bei d) hätte ich für die Halbachsen:
a=6 und b=9.
Bei b) und c) fehlt mir leider etwas die Grundlage, da ich Dandelinkugeln nicht kenne, werde mich mal darüber informieren!
mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2048
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Mai, 2003 - 15:36: |
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Hi Ferdi,
die Halbachsen a und b sind richtig:
je ein virtuelles Bier!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 692
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 11:29: |
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Hi,
es scheint sich wohl sonst niemand für die Aufgabe zu interesieren, dennoch bin ich an einer Lösung der Aufgabenteile b) und c) interesiert. Da du die Aufgabe gestellt hast, wirst du die Lösung sicherlich in petto haben. Es wäre schön, wenn du diese veröffentlichen könntest!
mfg |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 111
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 12:35: |
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ich interessiere mich schon für die Aufgaben, jedoch ist das Niveau ein wenig zu hoch für mich!!!*G*
1) rotiert der Zylinder um die Gerade g und was ist die Koordinatengleichung der Zylinderfläche?
Danke Detlef |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2049
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 12:37: |
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Hi,
Es ist an der Zeit, dass ich einige Bemerkungen zur Lösung
dieser Aufgabe beifüge.
Die Gleichung der Zylinderfläche lautet, wie Ferdi bereits
Mitteilte:
5x^2+8y^2+5z^2-4xy -4yz -8xz = 324
Die Gleichung der Schnittellipse in der (x,y)-Ebene:
5x^2 + 8y^2- 4xy = 324
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dass die kleine Achse b der Schnittellipse gerade mit dem
Zylinderradius übereinstimmt, ist sofort einzusehen.
Die große Halbachse a gewinnen wir am einfachsten so:
wir berechnen den Winkel phi der Zylinderachse g,
Richtungsvektor v = {2;1;2}, mit der Normalen n = {0;0;1}
der Schnittebene z = 0.
Wir erhalten mit Hilfe des Skalarproduktes dieser Vektoren:
cos (phi) = 2 / 3.
Es gilt nun a = r / cos(phi) = 9
Zu Vergleichszwecken berechnen wir aus a und b noch die
lineare Exzentrizität e der Ellipse
Mit e^2 = a^2 - b^2 kommt
e = sqrt (45) = 3*sqrt(5).
Diesem Wert werden wir bald wieder begegnen.
Bis dann
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2050
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 13:13: |
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Hi
Schneidet man einen Rotationszylinder mit einer
Ebene E, die nicht parallel zu einer Mantellinie verläuft,
so entsteht eine Ellipse als Schnittfigur.
Die Begründung für diese Tatsache kann sehr elegant
mit Hilfe der so genannten Dandelin-Kugeln (D-Kugeln)
erbracht werden.
Eine solche Kugel berührt den Zylinder längs eines Kreises
und zugleich die Schnittebene in einem Punkt F.
Der Mittelpunkt M der D-Kugel liegt auf der Zylinderachse g,
der Kugelradius stimmt mit dem Radius des Zylinders überein.
Bei diesem zylindrischen Schnitt gibt es zwei gleich große
D-Kugeln.
Bei unserem Beispiel finden wir die Mittelpunkte
M1 und M2 sofort:
Sie liegen auf den beiden Parallelebene zur Schnittebene
im Abstand 6 und auf der Achse g, deren Parameterdarstellung
vorliegt.
Die Gleichungen der Parallelebenen lauten
z = 6 und z = - 6
Wir erhalten(Kopfrechnung):
M1(6/3/6),M2(-6/-3/-6).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Berührungspunkte mit der Schnittebene z = 0
sind die Brennpunkte
F1(6/3/0), F2(-6/-3/0).
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir berechnen nochmals die lineare Exzentrizität e als Abstand
OF1 = OF2 = e:
e = sqrt(5)
*********
MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2051
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 09:13: |
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Hi Ferdi,
Es wäre fair, wenn wir die Herleitung der Gleichung
der Zylinderfläche ins Forum stellen, indem wir damit
zeigen, dass wir Mathematik treiben und
keine Geheimwissenschaft.
Damit wird jedermann mit der Gleichung einer Zylinderfläche
ein wenig vertraut.
Pro memoria:
Das Beispiel lautet so:
Ein Rotationszylinder ist durch den Radius r = 6 und
eine Parameterdarstellung der Achse g
mit t als Parameter folgendermaßen gegeben:
x = 2 t , y = t , z = 2 t.
Man ermittle eine Gleichung in x,y,z für den laufenden
Punkt P(x/y/z) der Zylinderfläche;
Wir bestimmen mit Hilfe des Vektorprodukts den Abstand d
des Punktes P(x/y/z) von g und setzen
d^2 = r^2 = 36.
Auswahl eines Punktes Po auf g; günstig ist Po= O(0/0/0)
Richtungseinheitsvektor a von g: a={2/3;1/3;2/3}.
b ist der Verbindungsvektor OP, also b = {x;y;z}.
Daraus berechnet man leicht den Abstand d:
d = abs(a x b) / abs(a); dabei bedeuten:
abs(…) : absoluter Betrag des Vektors in der Klammer;
x: das Vektor- oder Kreuzprodukt.
Es ist a x b = {z/3-2y/3; 2x/3 – 2z/3; 2y/3 – x/3}
abs(a) = 1
somit:
d^2 = 1/9*[5x^2+8y^2+5z^2-4xy-4yz-8xz]
Mit d^2 = r^2=36 kommt die gesuchte Gleichung:
5 x^2 + 8 y^2+5 z^2 – 4 x y – 4 y z – 8 x z = 324
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Damit ist das Geheimnis, mindestens teilweise, gelüftet
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 695
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 13:06: |
|
Hi,
kein Problem, die Mathematik hat sowieso einen viel zu schlechten Ruf(zumindest bei meinen Bekannten). Besten Dank auch erstmal für die Lösungen von Teil c) und d).
Ich muss aber sagen das ich die Gleichung der Zylinderfläche anders berechnet habe, nach einem Verfahren das ich hier im Board kennen gelernt habe, es stammt sogar von dir: Stichwort Enveloppe einer Kugelschar...
Nur gut das wir auf das selbe Ergebnis kommen :-)
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2052
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 14:36: |
|
Hi Ferdi
Die Methode mit der Umhüllenden (Enveloppe) einer
einparametrigen Kugelschar sollten wir unbedingt durchziehen und propagieren;
das hebt auch das Renomee
von ZahlReich.
Willst Du das übernehmen; die warst damit ja erfolgreich.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 697
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 15:40: |
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Gerne:
Wir betrachten die Kugelschar mit dem festen Radius r=6 deren Mittelpunkte auf der Zylinderachse g liegen:
(x-2t)²+(y-t)²+(z-2t)²=36
Betrachten wir dies als Funktion:
F(x,y,z,t)=(x-2t)²+(y-t)²+(z-2t)²-36=0
Diese müssen wir noch partiell nach t ableiten:
Ft(x,y,z,t)=-4(x-2t)-2*(y-t)-4(z-t)=0
Man erhält nun die Einhüllende dieser Kugelschar, indem man aus den Gleichungen F(x,y,z,t)=0 und Ft(x,y,z,t) den Paramter t eliminiert!
Aus letzterer Gleichung erhält man t=(1/9)*(2x+y+2z)
Setzt man dies in die erste ein, multipliziert aus und vereinfacht erhält man schliesslich das gewünschte Ergebniss.
Wo wir schon dabei sind: Die Halbachsen der Ellipse habe ich auch anders berechnet, da ich ja nicht so viele Formeln kenne wie du , ich habe die Gleichung 5x²+8y²-4xy=324 einer Hauptachsentransformation unterzogen, aber vielleicht führt das dann doch zu weit, ich meine wenn man mal den Aufwand bei deiner Lösung mit meiner hier vergleicht ...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2053
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 16:29: |
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Hi Ferdi,
Es ist unglaublich, was man an Hand dieser
Aufgabe alles lernen kann.
Ich zeige allen, die sich dafür interessieren,
wie man im vorliegenden Fall mit Hilfe der
Eigenwerte der quadratischen Form
F(x,y) = 5 x^2 – 4 x y + 8 y^2
die Halbachsen auf sehr bequeme Art findet.
In der üblichen Bezeichnung einer solchen Form
mit A x^2 + 2 B x + C y^2 gilt für unseren Fall
A = 5 , B = - 2 , C = 8.
Die charakteristische Gleichung zur Ermittlung der
Eigenwerte L1 und L2 lautet:
L^2 – 13 L + 36 = 0
(es taucht wieder einmal eine 13 auf , hihi);
die Lösungen, also die Eigenwerte, sind
L1 = 4 , L2 = 9;
Somit lautet die Gleichung unserer Ellipse in einem
Hauptachsensystem X,Y (gross X, gross Y !*):
4 X^2 + 9 Y^2 = 324.
Daraus ergeben sich die Halbachsen sofort:
a = 9, b = 6.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 699
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 17:05: |
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Tja, das ist ja das schöne an der Mathematik viele Wege führen zum Ziel...
Ich fand diese Aufgabe auch sehr schön! Wenn es keine Umstände machst kannst du ja in loser Folge weiter so nette Aufgaben ins Board stellen, da bei den meisten ja jetzt Abitur vorbei ist und bis zum Studienbeginn bzw Wehrdienst noch sehr viel Zeit zum lernen und rechnen ist...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
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Nummer des Beitrags: 2055
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| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Mai, 2003 - 13:00: |
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Hi Ferdi
Gerne werde ich in lockerer Folge noch ein paar
hübsche, aber auch anspruchsvolle Aufgaben stellen.
Eine Schlussbemerkung zum Rotationszylinder in
Schräglage:
Es ist reizvoll und aufschlussreich zugleich,
auch für die quadratische Form in drei Variablen,
d.h. für
F(x,y,z) =5x^2+8y^2+5z^2–4 xy– 4 yz– 8 xz
Die Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen
Die Matrix M der quadratischen Form lautet in
zeilenweiser Schreibweise nach Maple:
M = [[5,-2-4],[-2,8,-2],[-4,-2,5]]
Die charakteristische Gleichung lautet, mit L als Variable:
L^3-18 l ^2 + 81 L = 0
Die Lösungen (Eigenwerte) sind :
L1= 0, L2 = L3 = 9
Die Doppellösung weist darauf hin,
dass die Fläche eine Rotationsfläche ist.
Der erste Eigenvektor e = {2;1;2} liefert die
Rotationsachse; sie kommt uns bekannt vor.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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