| Autor |
Beitrag |
    
Markus (onkel20)
Neues Mitglied
Benutzername: onkel20
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 15:10: | 
|
Hallo,
welches Verfahren bringt mich hier:
Int 1/sin(x) dx
ans Ziel???
Danke im Voraus
Markus |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1266
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 16:13: |
|
Hi Markus
bin jetzt mit mehreren Substitutionen zum Ziel gelangt(hoffe ich jedenfalls...):
ò 1/sin(x) dx
Substitution
z=sin(x)
dz/dx=cos(x)=sqrt(1-z²)
ò 1/sin(x) dx=ò 1/[z*sqrt(1-z²)] dz
Nochmal substituieren:
w=sqrt(1-z²) <=> z²=1-w²
dw/dz=-z/w
ò 1/[z*sqrt(1-z²)] dz=ò -w/(w*z²) dw
=-ò 1/(1-w²) dw
=-arctanh(w)=-arctanh(sqrt(1-z²))
=-arctanh(sqrt(1-sin²(x)))
=-arctanh(cos(x))
sqrt steht für Quadratwurzel.
MfG
C. Schmidt |
Raffi (raffi)
Junior Mitglied
Benutzername: raffi
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Mai, 2003 - 16:50: |
|
Hallo Markus
ich habe eine andere Substitution:
x=2*arctan(t)
dx=2/(1+t^2) dt
t=tan(x/2)
Zwischenrechnung (Basteln  )
sin(x)= sin(x/2+x/2)
= (2*sin(x/2)*cos(x/2))/[(cos(x/2)^2+ (sin(x/2))^2]
=2*tan(x/2)^2/(1+(tan(x/2))^2
=2*t/(1+t^2)
eingesetzt ergibt das :
Integral 1/sin(x)dx= I (1+t^2)/(2*t) * 2/(1+t^2) dt
= I 1/t dt
=ln|t| Resubstituieren
= ln|tan(x/2)|
Viele Grüße
Raffi
|
