    
Mh (manfred)
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Benutzername: manfred
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| | Veröffentlicht am Montag, den 05. Mai, 2003 - 10:18: | 
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Ein analytischer Ansatz, der (nur) zu einer numerischen Lösung führt:
Da der Maßstab und die Lage im Koordinatensystem nicht von Bedeutung ist, wähle ich - der ganzen Zahlen und der Einfachheit wegen - ein 2x2-Quadrat in der Ecke des ersten Quadranten; der unten (im vierten Quadranten) anliegende Halbkreis hat den Mittelpunkt (1; 0) und den Radius 1.
Die Trennlinie verlaufe durch den Punkt (a; 0). [0 < a < 2]
Mein Ziel ist es, die rechts oberhalb der Trennlinie liegende Fläche in Abhängigkeit von a zu berechnen.
Der größere Teil des Quadrates hat die Fläche A1 = 4 - a.
Nun berechne ich den Schnittpunkt der Gerade g durch (a; 0) und die linke obere Ecke (0; 2) mit dem (Halb-) Kreis K.
g: x=at; y=2-2t; für alle t aus IR
K: (x-1)² + y² = 1²
g in K eingesetzt: (Ich schreibe weiterhin t statt vielleicht tS für Schnittpunkt...)
(a²t² - 2at + 1) + (4 - 8t + 4t²) = 1
Die größere Lösung der quadratischen Gleichung in t liefert den Parameterwert des unteren Schnittpunkts:
t = (a+4+Wurzel[8a-3a²])/(a²+4)
xS = at
yS = 2-2t
Innerhalb des Halbkreises liegen eine Dreiecksfläche A2 und ein Kreisabschnitt A3:
A2 = (xS-a)·(-yS)/2 = (at-a)·(2t-2)/2 = a·(t-1)²
A3 = Integral von xS bis 2 über Wurzel[1-(x-1)²] dx
= Integral von xS-1 bis 1 über Wurzel[1-x²] dx
= [x/2·Wurzel[1-x²] + 1/2·arcsin x] in den Grenzen at-1 und 1.
= 0 + Pi/4 - (at-1)/2·Wurzel[1-(at-1)²] - 1/2·arcsin(at-1)
A = A1 + A2 + A3
= 4 - a + a·(t-1)² + Pi/4 - (at-1)/2·Wurzel[2at-a²t²] - 1/2·arcsin(at-1)
Nun kann man numerisch prüfen, wann A die Hälfte der Gesamtfläche 4 + Pi/2 beträgt.
Graph von [A/(4+Pi/2)](a):
Bei etwa a = 1,40628871 halbiert die Trennlinie die Gesamtwappenfläche.
Schöne Grüße, auch in die Schweiz!
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