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minniem (minniem)
Mitglied
Benutzername: minniem
Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 15:59: | 
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Hallo,
fange gerade mit der Differentailrechnung an und habe einen kleinen gedanklichen Aussetzer. :-)
Kann mir mal jemand erklären warum der Grenzwert von (xn + 3) = 6 ist? |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 510
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 16:10: |
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Hi,
da gab's leider noch mehr "Aussetzer" ... 
.. erstens muss bekannt sein, wie x_n definiert ist und zweitens muss beim Grenzwert auch immer angegeben sein, welche Variable gegen wohin strebt.
Gr
mYthos
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minniem (minniem)
Mitglied
Benutzername: minniem
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 03-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 16:41: |
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Gut, dann fang ich noch mal von vorne an.
Aufgabe: Berechnen Sie für die Normalparabel f: x --> x2 die Steigung im Kurvenpunkt P0 (3/9).
Lösung:
mP0Pn = (xn^2 - ^2) / xn - 3) = xn + 3
Der notwendige Grenzübergang liefert dann lim xn --> (xn + 3) = 6.
1. Wie kommt die obige Gleichung zustande?
2. Wieso ist der Grenzwert hier 6=? |
Jochen Schütz (jabberwocky)
Neues Mitglied
Benutzername: jabberwocky
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 18:31: |
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Ja nun, die Funktion ist f(x) = x^2.
Um die Steigung an der Stelle xo = 3 auszurechnen, benötigt man den Differenzquotienten, wobei eine Variable gegen 0 strebt:
m = lim h->0 [f(xo + h) - f(xo)] / h
Hier:
m = lim h->0 [f(3+h) - f(3)] / h = lim h->0 [(3+h)^2 - 9] / h = lim h->0 [9 + 6h + h^2 - 9] / h = lim h->0 [6h + h^2] / h = lim h->0 [6 + h] = 6 !!
(im zweiten Schritt: 1 binomische Formel angewendet: (3+h)^2 = 3^2 + 2*3*h + h² = 9 + 6h + h^2; im letzten Schritt: gegen h gekürzt!)
alles klar?? Grüße, Jochen! |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 512
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 18:42: |
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Hi,
m(P0Pn) ist die Steigung der Sekante P0Pn; wenn xn gegen 3 geht, wird aus der Sekante die Tangente in P0.
Wir müssen also in der Steigungsformel den Grenzwert der Sekantensteigung (der ein Differenzenquotient ist) für xn -> 3 bestimmen!
Das ist dann die Steigung (der Tangente) im Kurvenpunkt P0, der dann auch 1. Differentialquotient oder 1. Ableitung an der Stelle x = 3 genannt wird.
m(P0Pn) = [f(xn) - f(x0)]/(xn - x0)
f: x -> x²
mt = lim[xn -> x0] [(xn² - x0²)/(xn - x0)]
x0 = 3
mt = lim[xn -> 3] [(xn² - 9)/(xn - 3)]
Jetzt musst du zuerst dividieren, bevor du den Grenzübergang machen kannst (denn sonst würde sich ja 0/0 ergeben und das ist eine unbestimmte Form, die zu vermeiden ist!)
Nach der binomischen Formel a² - b² = (a + b)*(a - b) ist nun
mt = lim[xn -> 3] (xn + 3), jetzt für xn = 3 einsetzen
mt = 3 + 3 = 6
Die Steigung (der Tangente) im Punkt P0(3|9) bzw. die erste Ableitung der Funktion y = x² an der Stelle 3 ist somit 6.
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 513
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 18:52: |
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@Jochen, du hast die Rechnung mit genau der anderen Methode, welche mit der x-Differenz h arbeitet, gemacht. Diese ist sicher populärer und leichter zu rechnen als die hier angewandte mit zwei x-Werten.
Dennoch erschien es mir im Interesse der Fragestellung hier notwendig, den letzteren Weg zu beschreiben, weil der Ansatz schon so vorgegeben war!
Ausserdem ist die Gefahr, den Fragesteller damit zu verwirren, geringer.
Gr
mYthos
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Jochen Schütz (jabberwocky)
Junior Mitglied
Benutzername: jabberwocky
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 13:53: |
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OK, tut mir leid, wollte hier keinen verwirren! |
