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Tobias Schlottbohm (schlati)
Junior Mitglied
Benutzername: schlati
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 18:38: | 
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Hallöchen,
da ich nicht genau wusste, in welches Forum meine Aufgabe gehör, poste ich sie mal hier im "Sonstiges"-Forum.
Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
gegeben:
eine Funktion f(x) = 3(x-1/2)^2+1
Hinzu kommt eine Gerade g(x), die parallel zur X-Achse verläuft.
Wie muss die Gerade gewählt sein, damit die Fläche zwischen der Geraden und der Funktion zwischen x=2 und x=5 maximal wird?
Wie die Aufgabe ausschaut, kann ich mir vorstellen, wie sie theoretisch gerechnet werden muss, ebenfalls.
Hab auch recht lang dran rumprobiert, kam aber zu keinem zufriedenstellendem Ergebnis (-> g(x)=61,75 = äußerster möglicher Randwert (-> f(5) = 61,75).
Das kommt aber nicht ganz hin, bzw kann einfach nicht hinkommen.
Wäre nett, wenn mir jemand mal nen kleinen Lösungsvorschlag geben könnte.
Am Mittwoch heisst es nämlich 4,25 Stunden Mathe-Abi-Klausur schreiben :-/
danke schon mal im Vorraus! |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 505
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 11:28: |
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Hi,
f(x) ist eine Parabel, nach oben offen, mit dem Scheitel S(1/2 |1) und keiner Nullstelle. So wie die Angabe zu interpretieren ist, bildet die zur x-Achse parallele Gerade daher tatsächlich im Punkt (Randextremum, absolutes Extremum) mit dem höchsten Funktionswert, d.i. bei x = 5 das Parabelsegment mit der maximalen Fläche.
Gr
mYthos
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Tobias Schlottbohm (schlati)
Junior Mitglied
Benutzername: schlati
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 17:03: |
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Hi,
danke erstmal für die schnelle Antwort.
Allerdings hab ich dennoch eine Frage:
Ich hab die Aufgabe nach folgendem Schema gelöst:
Vorab:
Hab die Rechnung mal eingescannt, kann man bei http://schlati.bei.t-online.de/mathe.jpg abrufen.
1. Schnittpunkte der Geraden mit der Funktion bestimmen (-> x1= 1/2+sqrt(c/3-1/3) sowie x2= 1/2-sqrt(c/3-1/3), wobei c halt die Variable in der Geraden darstellen soll.
2. x1 kann man für die Aufgabe ignorieren, da der Schnittpunkt egal für welches "c" < 2 ist, und man soll ja die Fläche von 2 bis 5 bestimmen.
3. Stammfunktion von f (-> x^3-3/2x^2+7/4x) aufstellen, Stammfunktion von g (-> cx)aufstellen.
4. F-G -> Funktion, die die Fläche zwischen g und f beschreibt.
5. Grenzen in die Stammfunktion einsetzen, also einmal von 2 bis x1, dazu wird dann die Fläche zwischen x1 bis 5 addiert.
6. Randwerte mal eingesetzt
Meine Fragen:
1. Kann man dieses "Z" (wie ichs halt genannt hab) wirklich einfach so rausstreichen, weil es einmal positiv und einmal negativ ist? Oder geht es nicht wegen den Betragsstrichen?
2. Am Ende steht ja "-90 3/4 + 3c". Egal ob´s jetz positiv oder negativ ist: wie müsste ich weiterrechnen, damit ich den Maximalwert rausbekomme? Schließlich darf ich für c ja alles von 7 3/4 (also f(2)) und 61 3/4 (f(5)) einsetzen...
gruß
Tobi
PS: Sorry für die Schrift :-/ |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 511
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 18:25: |
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Hallo!
Ja, es stimmt, dass die 2 Teilflächen - bei deinem Ansatz - absolut zu nehmen sind. Das "Z" fällt auch deswegen nicht weg (und daher bleiben ja auch die x2 stehen, wo wäre sonst die Funktionsgleichung für x2, die dann zu maximieren ist? Sh. auch deine Frage 2).
Vielmehr ergibt sich dann für A = A1 + A2, wobei
A1 = (x³ - 3x²/2 + 7x/4 - cx) in den Grenzen von [x2;2] - die Grenzen sind vertauscht (Fläche mit -1 mult.), weil diese links von x2 liegende Fläche unterhalb der Geraden liegt und negativ ist. Durch das Vertauschen wird sie positiv (d. i. dann der Absolutbetrag)
A2 = (x³ - 3x²/2 + 7x/4 - cx)[x2;5]
Diese beiden sind zu addieren und davon das Extremum zu bestimmen; setze der Einfachheit halber statt x2 gleich x.
Versuche mal, das so zu rechnen, ich hab's bis jetzt aus Zeitmangel nicht weiter gerechnet, werde es aber noch tun und am späteren Abend nochmal reinschauen, falls du Schwierigkeiten hast. Klar?
Gr
mYthos
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Tobias Schlottbohm (schlati)
Junior Mitglied
Benutzername: schlati
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 01:20: |
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Alles klar,
das war auch meine Vermutung ;)
Bei nem Wert für c von ca. 30 wäre die Fläche ja auch lt. Rechnung = 0 gewesen, was dann halt nur bedeuten kann, dass ich die Flächen fälschlicherweise voneinander abgezogen habe.
Werd´s nach ein paar Stunden Schlaf nochmal durchrechnen...danke soweit! |
Tobias Schlottbohm (schlati)
Junior Mitglied
Benutzername: schlati
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. April, 2003 - 09:21: |
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So,
hab´s dann mal durchgerechnet, bin aber nicht wirklich zu einem Ergebnis gekommen  ...
Laut meiner Rechnung (also mit Addition des Termes "Z") komme ich abschließend auf folgende (Ziel)Funktion (nennt man das eigentlich so?):
Z(c) = -5/3c-4/3c*sqrt(c/3-1/3)+10/3*sqrt(c/3-1/3)-99 5/6
Als Ableitung habe ich dann, mit Unsicherheit, ob man den Term unter der Wurzel nicht auch selbst irgendwie ableiten muss, sondern einfach nach Schema f(x) = sqrt(x) -> f´(x) = 1/2*sqrt(x) vorgehen kann, folgendes:
Z´(x) = -5/3-[(4/3c)*1/2*sqrt(c/3-1/3)]-4/3*sqrt(c/3-1/3)+ 5/3*sqrt(c/3-1/3)
-> Die Konstante fällt weg; aus dem Term mit dem "c" bleibt nur noch die Zahl stehen ("c" fällt ja bei der Ableitung weg); der 1. Wurzelterm ist ein Produkt, also Produktregel; gleiches gilt für den zweiten Wurzelterm.
Naja, die Ableitung dann = 0 setzen bringts irgendwie nicht so, da kommt dann irgendwas hoch 6 bei mir raus, vermutlich is dann wohl schon die Ableitung falsch.
Allerdings stört mich das jetzt nicht allzu sehr, dass ich kein Ergebnis hab (obwohl ich jetzt auch irgendwo wissen will, was nun richtig ist und wo ich welche Fehler gemacht habe ;) ), aber dennoch hab ich noch folgende allg. Fragen:
1. Die Ableitung des Wurzelterms: kann man da wirklich wie oben beschrieben das, was unter der Wurzel steht, quasi ignorieren? Hab ja extra mal erläutert, wie ich bei der Ableitung vorgegangen bin, is das ok?
2. allg. zur Aufgabe:
Vorrausgesetzt, ich hätte die richtige Ableitung der Zielfunktion und setze diese = 0, dann bekomme ich ja ein Extremum heraus. Kann dieses nicht auch theoretisch ausserhalb der Grenzen 2 und 5 liegen? Oder ist das schon ausgeschlossen, weil man die Zielfunktion auf der Basis dieser Grenzen (-> Integral [f(x)-g(x)] zwischen 2 und 5) gebildet hat?
Wär nicht schlecht, wenn jemand die Fragen beantworten könnte, wäre aber auch nicht schlimm wenn nicht, da ich ja die Aufgabe und Vorgehensweise an sich verstanden habe, nur hapert es ja etwas an der Umsetzung ;)
Also bitte keinen zu großen Aufwand betreiben für so ein eigentlich eher unwichtiges Ergebnis, auch wenn es mich schon interessiert, wann jetzt die Fläche - vor allem nach dieser ausgiebigen aber von Fehlern behafteten Rechnung ;) - maximal wird  |
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