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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 619
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. April, 2003 - 12:15: | 
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Hi,
ich hab mal eine Frage bezüglich der Bedingung die zwei Zahlen s und r erfüllen müssen, so dass ein Punkt in dem Dreieck ABC liegt!
Es muss ja gelten sowohl s als auch r: 0<(r,s)<1.
Nun meint mein Freund, das zusätzlich noch r+s<1 gelten muss um zu sagen der Punkt liegt im Dreick. Ich habe hier aber im Board schon Artikel gelesen, wo auch nur gesagt wird, es muss gelten 0<(r,s)<1.
Betrachtet man nun das Dreieck
A=(0|0|0) und B=(1|0|0) und C=(0|1|0) und den Punkt D=(0,9|0,9|0)
Und man bildet nun die Vektoren AB, AC und AD, und will r und s berechnen:
AD=r*AC+s*AB
erhält man ja r und s mit jeweils 0,9, also müsste der Punkt ja im Dreick liegen, tut er aber nich. Muss hier noch die Bedingung r+s<1 gelten?
Ich hoffe ihr versteht was ich meine...
Danke |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 621
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. April, 2003 - 13:53: |
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Ich meine z.B. diesen Artikel:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/me ssages/9308/148131.html
ich bin mir nämlcih nicht sicher, ob der Punkt im Dreieck liegt, da r+s=1,25 > 1!
Könnt ihr mir aus meiner Verwirrung helfen?
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 611
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 08:28: |
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Hi Ferdi,
also daß die Bedingung r+s<1 gelten soll kann ich nicht glauben, dann wäre ja Megamath Rechnung in den von dir genannten Beitrag falsch.
Ich weis zwar nicht warum, aber wenn man die Gleiche Aufgabe nimmt, und stat den Stützvektor A, beispielsweise B nimmt, und rechnet, dann komme ich auf ein interessantes Ergebnis:
s=-0,9
r=0,8
damit wäre die Bedingung 0<s<1 nicht erfüllt, der Punkt würde also nicht im Dreieck liegen, was er ja auch nicht tut-Ich finde das verblüffend. Anscheinend ist es nicht egal mit welchen Ausgangspunkt du die Linearkombination aufstellst.
Gruß N. |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 612
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 09:21: |
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Hi Ferdi,
in deiner Gleichung:
AD=r*AC+s*AB
sind r und s noch voneinander Abhängig. Wenn r gegen 1 läuft, muss s gegen 0 streben, sonst würde D nicht im Dreieck liegen können. Andersherum genauso, wenn s gegen 1 läuft, dann muss zwangsläufig r gegen Null laufen.
Es hat war den Anschein, das gilt r+s=1 aber ich denke die Länge der Vektoren spielt eine Rolle.
Der Abstand AD darf nicht in diesem Fall größer sein als 1, sonst ligt D nicht im Dreieck. denn 1 ist die größtmögliche Länge deienr Dreiecksseiten, die als Koordinatenachsen fungieren.
Bei dir ist |AD|=1,2727922
Es muss aber gleichzeitig gelten:
r²+s²=<1
unabhängig welche Werte du für r und s bekommst ist |AD|>1 d.h die Bedingung |AD|=1,27... ist nicht erfüllbar. Daher liegt D nicht im Dreieck.
Die Bedingung r²+s²<=1 bezieht sich wohlgemerkt nur auf diese Aufgabe. Das ist nach meinen jetzigen Erkenntnisstand keine allgemeingültige universelle Bedingung!
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1190
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 10:01: |
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Hi Ferdi und Niels
Ich hab mir das grad auch mal überlegt.
Ich bin zunächst mal von einem Dreieck ausgegangen, bei dem Punkt A im Ursprung liegt. Jetzt versuchen wir durch die Vektoren AB und AC eine Gerade durch BC zu beschreiben. Die ist:
g: x=AB+r*(AC-AB)
=(1-r)AB+r*(AC)
Mit 1-r=s folgt damit die Beziehung deines Freundes. Bzw. es gilt r+s=1, wenn der Punkt auf der Strecke BC liegt. Innerhalb des Dreiecks sollte dann r+s<1 gelten und natürlich noch r,s³0.
Dreiecke, bei denen A nicht im Ursprung liegt kann man ja dann verschieben, sodass A im Ursprung liegt. D muss man natürlich gleichermaßen verschieben.
Allerdings würde das dann auch heißen, dass die Lösung von megamath falsch ist, was ich aber für unwahrscheinlich halte ;)
(Die Bedingung, dass r und s zwischen 0 und 1 liegen sollen verstehe ich aber auch nicht so ganz, das wäre doch dann das von AB und AC aufgespannte Parallelogramm oder nicht?)
MfG
C. Schmidt
Ich weis zwar nicht warum, aber wenn man die Gleiche Aufgabe nimmt, und stat den Stützvektor A, beispielsweise B nimmt, und rechnet, dann komme ich auf ein interessantes Ergebnis:
s=-0,9
r=0,8
damit wäre die Bedingung 0<s<1 nicht erfüllt, der Punkt würde also nicht im Dreieck liegen, was er ja auch nicht tut-Ich finde das verblüffend. Anscheinend ist es nicht egal mit welchen Ausgangspunkt du die Linearkombination aufstellst.
Das liegt sicher daran, dass B nicht im Ursprung liegt. Ich würde das Dreieck dann wieder passend verschieben.
(Beitrag nachträglich am 26., April. 2003 von Christian_s editiert) |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 623
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 10:34: |
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Ich hab mir das mal zeichnen lassen,
deswegen war ich ins zweifeln geraten. Für mich sieht es nämlich so aus als ob der Punkt nicht drin liegt! Ich meine vielleicht haben megamath und Klaus ja beide, einen Fehler gemacht (kann ja sein??), obwohl die Wkeit dazu gegen 0 tendiert. Naja jedenfalls mal meine Skizze:
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1192
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 10:44: |
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Hi Ferdi
Hab das eben auch mal gezeichnet. Es sieht wirklich so aus, als ob der Punkt F nicht im Dreieck liegt.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 613
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 12:02: |
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Hi Freunde,
nehmen wir mal an, Megamath und Klaus hätten sich beide verrechnet. Vor ein paar stunden hätte ich das noch für genauso warscheinlich gehalten, wie ein 6er im Lotto, aber gehen wir mal davon aus.
Es gilt also r+s=<1 bei allen Dreiecken;
Dann wäre das ja eine Echte Sensation!
Und ich würde eure Theorie Stützen:
Punkt D (der bei Megamath der Punkt F ist) ligt nicht im Dreieck ABC !
Wollen wir gegen Megamath ein "Misstrauensvotum" einbringen:-)
Gruß N.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 624
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. April, 2003 - 12:14: |
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Ja, ich bin auch mal gespannt wie Megamath sich dazu äußert. So kurz vorm Abi noch einem Mathematischen Rätsel auf der Spur, vielleicht lässts sich ja ganz einfach lösen...
@Niels: Es sollte aber schon ein konstruktives Misstrauensvotum sein... ;-)
mfg |
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