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michi (sekhmet)
Neues Mitglied
Benutzername: sekhmet
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 20:21: | 
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hallo!
ich hab da eine aufgabe, die ich absolut nicht verstehe..hoffentlich könnt ihr mir da weiterhelfen! :
Eine Hyperbel geht durch den Punkt P(8/6wurzel3). Die Gleichung ihrer Asymptoten lauten y= +/- 3/2x
a)Bestimme die Hyperbelgleichung!
b)Durch Rotation der Hyperbel um die x-Achse entsteht ein zweischaliges Drehhyperboloid. Dessen rechter Schale ist ein Drehkegel mit der Spitze S(11/0) und mit maximalem Volumen so einzuschreiben, dass sein Basiskreismittelpunkt zwischen dem rechten Hyperbelscheitel und S liegt. Berechne das Volumen dieses Kegels!
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2020
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 08:42: |
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Hi Michi,
Die Gleichung der gesuchten Hyperbel c lautet im Ansatz:
b^2 x^2 - a^2 y ^2 x^2 = a^2 b^2.
Zur Ermittlung der Halbachsen a und b der Hyperbel stellen
wir zwei Gleichungen auf.
Erstens: c geht durch den gegebenen Punkt, somit:
64 b^2 – 108 a^2 = a^2 b^2
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Zweitens: Die Gleichungen der Asymptoten lauten
im vorliegenden Fall bekanntlich:
y = b/a * x und y = - b/a * x, somit
b / a = 3 / 2
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Aus den unterstrichenen Gleichungen ergeben sich die Halbachsen
a = 4 , b= 3; die Hyperbelgleichung lautet:
9 x^2 – 4 y^2 = 144
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2021
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 09:57: |
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Hi Michi
A(4/0) ist der auf der positiven x-Achse liegende
Scheitel der Hypebel 9 x^2 – 4 y^2 = 144, deren
Gleichung wir hergeleitet haben.
Nun bauen wir den in Deiner Aufgabe beschriebenen
Rotationskegel in die eine Schale des zweischaligen
Rotationshyperboloids ein.
Die Spitze S(11/0) ist vorgegeben.
Der Mittelpunkt M des Grundkreises sei der Punkt
M(u/0) auf der x-Achse.
Dabei ist u eine frei wählbare Variable aus dem
Intervall 4 < u < 11.
Nehmen wir u als Abszisse des Hyperbelpunktes
P mit positiver Ordinate y, so stellt dieser y-Wert
gerade den Radius des Grundkreises des Kegels dar.
Aus der Hyperbelgleichung, die wir nach y^2
auflösen, erhalten wir somit direkt
y^2 = r^2 = 9/4 u^2 – 36.
h = 11 - u ist die Höhe des Kegels, sodass das
Volumen V des Kegels lautet:
V = 1/3 Pi r^2 * h ; wir dürfen den Faktor 1/3 Pi
weglassen, wenn wir den u - Wert bestimmen
wollen, für den V maximal wird.
Wir untersuchen demnach die Funktion in u:
f(u) = r^2 * h = (9/4 u^2 – 36) * (11 – u) =
99/4 u^2 - 396 – 9/4 u^3 + 36 u
Leiten wir nach u ab und setzen f ´(u) null, so erhalten
wir aus der quadratischen Gleichung
3 u^2 – 22 u – 16 = 0 die für unsere Aufgabe
taugliche Lösung u = 8.
Damit wird Vmax = 108 * Pi,
wie man leicht bestätigt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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michi (sekhmet)
Neues Mitglied
Benutzername: sekhmet
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 10:13: |
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herzlichen dank für deine hilfe :-))) |
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