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manuel (macor)
Neues Mitglied
Benutzername: macor
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. April, 2003 - 10:14: | 
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Hi,
ich packe einfach nicht die Ableitungen!! Würde gerne kürzen, aber geht irgendwie nicht.
Kann mal jemand bis dritte Ableitung ausführlich vorrechnen - danke!!
fa(x)=(a^2-x^2)/(x^2+a) |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 594
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 01:22: |
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Du hast zwei Möglichkeiten: Vereinfachen, oder gleich Quotientenregel anwenden.
1. (a²-x²)/(x²+a) = -1 + (a²+a)/(x²+a)
Demnach ist fa'(x)= -(a²+a)2x/(x²+a)²
2.
fa'(x) = [(x²+a)*(-2x)-(a²-x²)*(2x)]/(x²+a)² = 2x(-x²-a-a²+x²)/(x²+a)² = -2x(a²+a)/(x²+a)²
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manuel (macor)
Neues Mitglied
Benutzername: macor
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 09:42: |
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Wie hast du das denn gemacht:
(a²-x²)/(x²+a) = -1 + (a²+a)/(x²+a)
Wie lautet denn die 2. und 3. Ableitung??
So weit bin ich mit der 2.:
(-2(a^2+a)-(-8x^2(a^2+a)))/(x^2+a)^3
Wie kann ich da noch weiter kürzen?? |
Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 596
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. April, 2003 - 23:01: |
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Dann mal etwas ausführlicher.
(a²-x²)/(x²+a)=(-x²+a²)/(x²+a)=(-1(x²+a)+a+a²)/(x² +a) = -1(x²+a)/(x²+a) + (a+a²)/(x²+a) = -1 + a(a+1)/(x²+a)
Die erste Ableitung ist demzufolge die, die oben steht.(Reziprokenregel, falls Du den Begriff mal gehört hast)
Für die zweite Ableitung empfiehlt es sich, den Faktor aussen vor zu lassen.
fa''(x) = -2(a²+a)* [(x²+a)²*1-x*2*(x²+a)*2x]/(x²+a)4
= -2a(a+1)* [(x²+a)-4x²]/(x²+a)³
= -2a(a+1)* (a-3x²)/(x²+a)³
fa'''(x) = -2a(a+1)* [(x²+a)³*(-6x)-(a-3x²)*6x(x²+a)²]/(x²+a)6
= -2a(a+1)*[(x²+a)(-6x)-(a-3x²)*6x]/(x²+a)4
= -2a(a+1)*(-6x)(x²+a-a+3x²)/(x²+a)4
= 12a(a+1)*x(4x²)/(x²+a)4
= 48a(a+1)x³/(x²+a)4
Hoffe ich habe mich nicht verrechnet.
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Ingo (ingo)
Moderator
Benutzername: ingo
Nummer des Beitrags: 597
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 00:58: |
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Bei der dritten Ableitung ist mir ein Fehler unterlaufen. In der drittletzten Zeile muß es richtig heißen
= -2a(a+1)(-6x)(x²+a+a-3x²)/(x²+a)4
= 12a(a+1)x(2a-2x²)/(x²+a)4
= 24a(a+1)x(a-x²)/(x²+a)4
(Mathematica sei dank *g)
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