| Autor |
Beitrag |
    
Juliane Hörnig (logic)
Neues Mitglied
Benutzername: logic
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. April, 2003 - 17:13: | 
|
Hallo!
Ich brauche eure Hilfe. Ich kenne zwar die allgemiene Tangentengleichung eines Kreises, weis aber nicht wie man dort hin kommt.
Könnte mir bitte jemand helfen (ausserdem bitte schön einfach erklären, damit ich es verstehe  )
Schon im vorn herein vielen dank !!
Tschüss |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 596
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. April, 2003 - 17:46: |
|
Hi,
eine Methode ist die sog. Polarisation, schau mal unter Suche und gib den Begriff ein. Da wirst du einige Beiträge finden!
Bei Fragen melde dich!
mfg |
Juliane Hörnig (logic)
Junior Mitglied
Benutzername: logic
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. April, 2003 - 18:47: |
|
Hallo nochmal!
Polarisation habe ich leider noch nie gehört und auch die Beiträge haben mir nicht weitergeholfen.
Ich habe es mit der Ableitung der allgemeinen Kreisgleichung versucht, kam aber nicht weit.
Hättest noch noch eine Idee wie es gehen könnte, ausser mit den beiden Methoden.
Nochmal tschüss |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 485
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. April, 2003 - 22:42: |
|
Hi!
Polarisation ist nicht der richtige Ausdruck, Ferdi, du meintest wohl die Methode der Polaren.
@Juliane
Bei den Tangenten gibt es zwei Ausgangssituationen:
1.
Tangente IN einem Punkt des Kreises
2.
Tangenten VON einem Punkt AN den Kreis.
Unter der Tangentengleichung wird im Allgemeinen die Gleichung der Tangente t IN einem Punkt T der Kurve verstanden (man sieht dann später, dass diese identisch mit der Polarengleichung der Polaren des Pols P bezüglich des Kreises k ist, wenn statt des Berührungspunktes T der Pol P eingesetzt wird).
Sei dieser Punkt T(x1|y1), der auf dem Kreis k:
[X - M]² = r² liegt (M(m|n). Weil T auf k liegt, ist (T - M)² = r²
Die Tangente steht normal auf den Berührungsradius MT. Daher muss das Skalarprodukt von MT mit dem Richtungsvektor TX der Tangente 0 werden (X laufender Punkt auf der Tangente, alle Großbuchstaben bezeichnen Vektoren):
(T - M).(X - T) = 0
X.(T - M) = T.(T - M)
=================
oder (Umformung):
X.(T - M) = T.(T - M) | -M.(T - M)
(X - M).(T - M) = (T - M)²
-->
(T - M).(X - M) = r²
================
letztere Formel wird auch als Spaltformel oder Polarenform bezeichnet, denn die Tangente ist der Sonderfall einer Polaren, wenn der Pol auf der Kurve liegt.
Für die Polarengleichung von P bezüglich k ist dann lediglich statt T P zu setzen.
Gr
mYthos
|
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 486
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. April, 2003 - 22:58: |
|
Man sollte vielleicht noch definieren, was die Polare überhaupt ist:
Die Polare p eines Punktes P bezüglich des Kreises (Kegelschnittes) k ist die Verbindungsgerade der Berührungspunkte T1, T2 der beiden Tangenten t1, t2, die man von P aus an den Kreis (Kegelschnitt) k legen kann.
Anschaulich ist dies so lange, als der Pol P so liegt, dass Tangenten an k möglich sind (reelle Tangenten). Wenn aber P beispielsweise innerhalb des Kreises liegt, existiert dazu dennoch eine reelle Polare (sie verläuft ausserhalb des Kreises), obwohl nun im Reellen keine Tangenten existieren - diese und die Berührungspunkte sind komplex.
Gr
mYthos
|
Detlef (detlef01)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 11:36: |
|
hi,
ich habe das noch nicht so ganz verstanden! Um eine allgemeine tangentenfunktion zu erstellen, benutzt man doch normal die Ableitung der Funktion und setzt das dann alles in die Geradengl. ein ! Deshalb verstehe ich diesen Vorgang nicht!
Danke
Detlef
|
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 488
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 14:37: |
|
Hi Detlef,
prinzipiell stimmt deine Aussage! Wenn du partout die allgemeine Kreisgleichung ableiten willst, wobei das dann auf eine nicht so angenehme Wurzelfunktion hinausläuft (es sei denn, du verwendest die implizite Ableitung - ist dir diese geläufig??), erhältst du jedenfalls die Steigung im Berührungspunkt T(x1|y1):
kt = -(x1 - m)/(y1 - n) .. M(m|n)
Nun ist die Geradengleichung mittels der Beziehung (k .. Steigung)
k = (y - y1)/(x - x1) ->
y - y1 = k*(x - x1)
zu ermitteln:
y - y1 = -[(x1 - m)/(y1 - n)]*(x - x1)
....
da muss nun einiges umgerechnet und auch verwendet werden, dass (x1 - m)² + (y1 - n)² = r² ist
....
(x1 - m)*(x - m) + (y1 - n)*(y - n) = r²
das ist vollkommen identisch mit der vorher ermittelten Form:
(T - M).(X - M) = r²
Ich meine aber doch, dass die in meiner ersten Antwort gezeigte Methode zwar etwas anspruchsvoller, aber einfacher ist. Jedenfalls kennst du nun beide.
Gr
mYthos
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 606
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 15:45: |
|
@Mythos
Auf dasselbe Ergebniss kommt man doch, wenn wann die gegebene Kreisgleichung polarisiert. Oder ist das alles quatsch, was hier im Boardarchiv steht, ich glaube eher nicht! Oder habe ich was falsch verstanden?
mfg |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 489
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. April, 2003 - 18:39: |
|
@Ferdi,
das ist ja klar! Beide Formeln
(x1 - m)*(x - m) + (y1 - n)*(y - n) = r²
und:
(T - M).(X - M) = r²
stellen doch die ggst. Polarform dar!
Bitte lies doch mal genauer, was ich in den vorigen Posting geschrieben habe, da wurde die Polarform (Spaltform) ja vektoriell und auch in Koordinatenform hergeleitet!! Vergiss bitte nicht, dass es u. a. um den Beweis dieser Formel gegangen ist.
Gr
mYthos
|
Detlef (detlef01)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 90
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. April, 2003 - 11:51: |
|
hi,
danke mythos!
Ich habe mir eine zeichung genamcht:
P ist der Punkt außerhalb des Kreises wo die Tangente durchlaufen soll und durch die Berührpunkte B1 und B2! M ist der Mittelpunkt des Kreises!
Ach um die Steigung in B1 zu berechnen haste die Koordinaten von P und M benutzt?
Dann haste die allgemeine Geradengl. genommen und für k oder m(Steigung) das eingesetzt!(aber warum ist die Steiung negativ?)
Aber die Funktion wurde doch trotzdem nicht abgeleitet?
Den nächsten Stritt verstehe ich nicht, was muss denn da umgerechnet werden?!
Detlef |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 494
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. April, 2003 - 12:26: |
|
Hi,
die Funktion wurde freilich abgeleitet! Nur habe ich den ganzen (etwas lanweiligen) Rechenvorgang hier nicht posten wollen (ich fragte dich ja, ob du die implizite Ableitung kennst, dann geht das Ganze etwas einfacher).
Die Steigung kommt einfach infolge der Ableitung negativ heraus! Du kannst dir dazu auch überlegen, dass die Steigung der Tangente negativ reziprok zu der Steigung der Normalen k_n = (y1 - n)/(x1 - m) sein muss -> somit ist
k_t = -(x1 - m)/(y1 - n)
Zur letzten Frage (Umrechnung):
...
y - y1 = -[(x1 - m)/(y1 - n)]*(x - x1)
das wäre ja bereits die Tangentengleichung, darin kommt aber noch nicht r² vor;
Jetzt muss man eben umformen und verwenden, dass (x1 - m)² + (y1 - n)² = r² ist, auch das ist langweilig, und das habe ich deswegen ausgelassen, bis man auf die im Formelheft stehende Gleichung kommt:
....
(x1 - m)*(x - m) + (y1 - n)*(y - n) = r²
Aus all diesen Gründen (eben das wollte ich dir vor Augen führen) ist es vorzuziehen, den Beweis wesentlich kürzer - wie im ersten Posting - abzuhandeln. Oder ist dieser für dich "ein Buch mit sieben Siegeln"?
Gr
mYthos
|
Detlef (detlef01)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. April, 2003 - 14:30: |
|
hi,
ich finde das keines wegs langweilig und wäre dankbar, wenn du den weg von
y - y1 = -[(x1 - m)/(y1 - n)]*(x - x1)
zu
(x1 - m)*(x - m) + (y1 - n)*(y - n) = r²
schildern würdest!Ich möchte das komplett verstehen!
Danke Detlef |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 506
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. April, 2003 - 12:08: |
|
OK, du hast es so gewollt 
Aber es ist eigentlich ziemlich einfach:
y - y1 = -[(x1 - m)/(y1 - n)]*(x - x1) wird zu
(x1 - m)*(x - x1) + (y1 - n)*(y - y1) = 0
nun die Beziehung: (x1|y1) liegt auf k darunterschreiben:
(x1 - m)*(x1 - m) + (y1 - n)*(y1 - n) = r²
diese beiden Gleichungen nun addieren! Dabei (x1 - m) bzw. (y1 - n) ausgeklammert lassen und jeweils in der zweiten Klammer die Ausdrücke addieren:
(x1 - m)*(x - x1 + x1 - m) + (y1 - n)*(y - y1 + y1 - n) = r²
x1 und y1 in der zweiten Klammer fallen weg, und somit ergibt sich die Tangentengleichung zu:
(x1 - m)*(x - m) + (y1 - n)*(y - n) = r²
Gr
mYthos
|
Detlef (detlef01)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 99
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Mai, 2003 - 14:14: |
|
vielen dank,
jetzt habe ich den kompletten Weg verstanden!
Detlef |
