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rosa (rosa13)
Neues Mitglied
Benutzername: rosa13
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 17:00: | 
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Hallo,
Ich habe eine schwierige Aufgabe zu lösen,
mit der ich nicht allein fertig werde.
Die Aufgabe lautet.
Die Ellipse
x^2 + [1+ wurzel(2)] y^2 = 1+ wurzel(2)
wird an der geraden y = x gespiegelt.
Man berechne den Schnittwinkel der beiden
Ellipsen.
Besten Dank für jede Hilfe.
rosa
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2014
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 18:24: |
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Hi rosa,
Mit S bezeichnen wir den Schnittpunkt der beiden
Ellipsen im ersten Quadrant.
Für ihn gilt xS = yS; es ist nicht nötig, diese Koordinaten
explitzit zu berechnen.
Wir ermitteln den halben Schnittwinkel w = phi/2.
wobei mit omega der Schnittwinkelwinkel der Geraden
y = x und der gegebenen Ellipse bezeichnet wird.
Wir erhalten tan(omega) mit einer bekannten
Formel:
tan (w) = (m2 - m1) / (1 + m1 m2)
m1 ist die Steigung der Ellipsentangente in S,
also m1 = - b^2 * xS / (a^2 * yS) = - b^2 / a^2.
m2 ist die Steigung der Geraden y = x, also
m2 = 1
Somit:
tang (w) = (a^2+b^2)/(a^2-b^2).
Wegen a^2 = 1 + wurzel(2) und b^2 = 1
entsteht daraus
tan (w) = 1 + wurzel(2)
also tan (phi) = tan (2w) = 2 tan(w) / [1- tan (w) ^ 2] = -1
Der gesuchte Schnittwinkel ist 135°
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2015
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 20:47: |
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Hi rosa,
Löst man die Aufgabe allgemein für die Ellipse
b^2 x ^2 + a ^2 y^2 = a^2 b^2 mit a>b
und führt man noch das Achsenverhältnis
q = a/b ein, so gilt für den Tangens des
Schnittwinkels phi:
tan(phi) = ½ [1/q^2 – q^2],
ein sehr schönes Resultat.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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