    
lisette (lisette)
Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 10:36: | 
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Hallo
Die folgende Aufgabe kann ich beim besten Willen
nicht lösen!
Wie muss ich anfangen?
Die Aufgabe lautet:
P* sei der am Kreis k (Mittelpunkt M, Radius r)
gespiegelte Punkt zum gegebenen Punkt P.
Man beweise: für einen beliebigen Punkt A auf k
ist der Quotient q = AP / AP* der Abstände des
Punktes A von P und von P* unabhängig von der
Lage des Punktes A auf k.
Kann mir jemand helfen?
Herzlichen dank im Voraus
Lisette
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2013
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:45: |
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Hi Lisette.
Um die Aufgabe zu lösen, brauchst Du bloß
Kenntnisse über die Definition der Spiegelung an
einem Kreis (Inversion am Kreis) und über den
Kosinussatz.
Wir führen die nachstehenden Bezeichnungen ein:
Indem der gegebene Kreis in einem rechtwinkligen
(x,y)-Koordinatensystem platziert wird mit dem
Mittelpunkt in O, ist k der Kreis mit der Gleichung
x^2 + y^2 = r^2.
k schneidet die positive x-Achse im Punkt F(r/0).
A ist ein laufender Punkt dieses Kreises.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit (hihi),
dürfen wir annehmen, dass der Punkt P auf der
positiven x-Achse liege und zwar innerhalb k.;
wir setzen daher an:
xP = u, mit 0 < u < r, yP = 0.
Dann hat der an k gespiegelte Punkt P* die
Koordinaten
xP* = r^2/ u , yP* = 0.
phi sei der Winkel FMA mit Scheitel in M;
(phi spielt die Rolle des Polarwinkels von A).
Wir wenden zweimal den Kosinussatz an:
Im Dreieck PMA gilt:
AP^2 = u^2 + r^2 – 2 r u cos(phi)
Im Dreieck P*MA gilt:
AP*^2 = r^4 / u^2 + r^2 – 2 ( r^2 / u ) r cos(phi) =
r^2 / u^2 [ u^2 + r^2 – 2 r u cos(phi) ]
Dabei sind AP und AP* die im Aufgabentext
erwähnten Abstände.
Bildet man nun den Quotienten q , so fällt der Winkel
alpha, der die Rolle eines Parameters spielte, aus dem
Ergebnis heraus, woraus sich die Behauptung ergibt.
Ausführung
q^2 = AP ^ 2 / AP* ^ 2 = u^2 / r^2 oder
q = u / r
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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