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Beitrag |
    
lisette (lisette)
Junior Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 17:04: | 
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Hallo,
Die folgende Aufgabe kann ich leider nicht lösen.
Kann mir jemand helfen? Sie lautet:
Der Graf der kubischen Funktion y = x^3 + a x^2 + b x
hat im Nullpunkt die gegebene Steigung m = m1 und
geht durch den Punkt A(1/ 0).
Die Steigung in A sei m2 , diejenige im dritte Schnittpunkt
mit der x-Achse sei m3.
Man beweise die Relation
m1* m2 +m2 * m3 + m3 * m1 = 0
Besten Dank für jede Hilfe
Mit freundlichen Grüßen
Lisette
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 440
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 17:31: |
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N(0|0): b = m1
A(1|0): 1 + a + b = 0
3 + 2a + b = m2
1 + a + m1 = 0
a = -m1 - 1
3 + 2(-m1 - 1) + m1 = m2
1 + 3m1 = m2
(x-1)(x-x0)*x = x^3 + a*x^2 + m1*x
x^3 - x^2 - x^2*x0 + x*x0 = x^3 + (-m1 - 1)*x^2 + m1*x
x0 = m1
B(m1|0):3m1^2 + 2(-m1 - 1)*m1 + m1 = m3
m1^2 - m1 = m3
1 + 3m1 = m2
m1(1 + 3m1) + m1(m1^2 - m1) + (1 + 3m1)(m1^2 - m1) =
m1 + 3m1^2 + m1^3 - m1^2 + m1^2 - m1 + 3m1^3 - 3m1^2 =
+ m1^3 + 3m1^3 = 4m1^3
da muß dann 4m1^3 = 0 gelten, was heißt, daß
m1 = 0 gilt;
a = -1, b = 0
f(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1)
f'(x) = 3x^2 - 2x
N1,2(0|0) -> steigung = 0 <- m1,3
N3(1|0) -> steigung = 1 <- m2
jetzt soll folgendes gelten:
m1*m2 + m1*m3 + m2*m3 = 0
0*1 + 0*0 + 1*0 = 0
quod erat demonstrandum
(Beitrag nachträglich am 10., April. 2003 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2011
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 17:37: |
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Hi Lisette,
Die erste Ableitung ist y´= 3 x^2 + 2 a x + b,
also y´(0) = b = m1
Die Kurve muss durch A gehen, somit:
0 = 1 + a + b , daraus a = - 1 – b = - 1 – m1.
Für die Funktion y(x) können wir schreiben:
y = x ^3 – (1 + m1) x^2 + m1 x
Wir berechnen m2:
m2 = y´ (1) = 3 – 2 (1+m1) + m1 = 1 – m1
Wir ermitteln nun noch den dritten Schnittpunkt
(x3/0) der Kurve mit der x-Achse aus der Gleichung
0 = x [x^2 – (1+m1) x + m1], indem wir die eckige
Klammer null setzen, die entsprechenden Lösungen
sind x2 und x3.
Wir wenden den Satz von Vieta an; es gilt
x2 * x3 = m1 , daraus wegen x2 = 1
x3 = m1 (sic).
Jetzt können wir die dritte Steigung m3 leicht
ermitteln:
m3 = y´(x3) = 3 x3^2 - 2 (1+ m1) x3 + m1 oder
m3 = m1^ 2 – m1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
ein wichtiges Zwischenresultat.
Zusammenstellung:
m1 ist gegeben, daraus folgt der Reihe nach:
m2 = 1 – m1
m3 = m1^ 2 – m1
Jetzt berechnen wir den gegebenen Term
T = m1* m2 + m2 * m3 + m3 * m1 und es kommt:
T = 0
°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2012
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 17:55: |
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Hi Walter,
Ich befürchte,dass Du einem circulus vitiosus zum Opfer gefallen bist.
Die Steigung m1 ist nicht notwendig null,
wie sich aus Deiner Rechnung ergibt
Im Gegenteil:
m1 ist eine beliebig vorgegebene reelle Zahl.
Siehst Du es nicht auch so?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
lisette (lisette)
Junior Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 09:03: |
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Hallo megamath,
Ich danke Dir für Deine Hilfe.
Ich habe Deinen Lösungsweg gut nachvollziehen können
und dabei sehr viel gelernt..
Viele Grüsse
Lisette
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