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Bernd (ochsenp)
Mitglied
Benutzername: ochsenp
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 16:08: | 
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hallo!
ft:x->0,5*(tx-ln(x)), t Element aus R+
Vom Punkt A(0/0,5) wird an jede Kurve der Schar die Tangente gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes in Abhängigkeit von t. Bestimmen Sie die Gleichung der Ortslinie für die Berührpunkte.
hat irgendjemand ne lösung mit weg??
bitte!
danke
bernd |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 460
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 22:47: |
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Hi,
wir bilden die 1. Ableitung, denn die Steigung der Tangente in einem beliebigen Punkt X(x1|y1) der Kurve ist f'(x1)
f't(x1) = 0,5*(t - 1/x1)
Die Gleichung der Tangenten:
y - y1 = k*(x - x1); x, y sind die laufenden Koordinaten der Geradengleichung, x1, y1 die Koordinaten des Berührungspunktes
y - y1 = 0,5*(t - 1/x1)*(x - x1)
y - y1 = 0,5tx - 0,5x/x1 - 0,5tx1 + 0,5
Für x und y sind nun die Koordinaten von A einzusetzen:
0,5 - y1 = -0,5tx1 + 0,5
y1 = 0,5tx1 .. dies muss für die Berührungspunkte sämtlicher von A aus gelegter Tangenten gelten.
Die Berührungspunkte liegen natürlich noch auf den Kurven der Schar:
y1 = 0,5*(tx1 - ln(x1))
0,5tx1 = 0,5tx1 - 0,5*ln(x1)
ln(x1) = 0
Für alle T(x1|y1) gilt nun:
x1 = 1
y1 = 0,5*t
-----------
Nun kann man statt x1, y1 auch x, y setzen
x = 1
y = 0,5*t
----------
Das ist gleichzeitig die Parameterdarstellung der Ortskurve, auf der alle T liegen!
Ohne Parameter gilt:
Alle Berührungspunkte liegen auf der Geraden x = 1
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 461
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 23:49: |
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Noch eine Grafik hierzu!
< Kurvenschar11.gif >
Gr
mYthos
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Bernd (ochsenp)
Mitglied
Benutzername: ochsenp
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 13:16: |
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hallo,
danke für deine mühe das so ausführlich darzustellen. unklar ist aber noch..
a)
ich dachte die Tangenten bestimmung wäre mit y=mx+b gegeben. wieso muss noch y1-y und x1-x gegeben werden? wegen der steigung m=(y1-y)/(x1-x)?? |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 462
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 14:26: |
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Ganz genau! Messerscharf kombiniert! 
Aus der von dir angeschriebenen Beziehung folgt sofort:
y - y1 = m*(x - x1), das ist die in dieser Rechnung verwendete "Punkt-Richtungsform".
Man muss sich diese ja nicht merken, wie du gerade selbst bewiesen hast....
Gr
mYthos
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