Spiegelung an Kreisen

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Autor Beitrag   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 543 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Freitag, den 04. April, 2003 - 14:16:    Hi, Man spiegelt einen Punkt P zu P' an einem Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M nach der Vorschrift: MP*MP'=r2 Führt man nun ein Koordinatensystem so ein das der Mittelpunkt des Spiegelkreises im Ursprunge liegt so gilt für die Koordinaten x' und y' des Bildpunktes P': x'=(r2*x)/(x2+y2) y'=(r2*y)/(x2+y2) Wie kann man diese Beziehung beweisen? Was passiert mit einer Hyperbel, deren linker Ast in den Ursprung verschoben ist, bei einer solchen Spiegelung an einem Kreis? Vielen Dank im Vorraus mfg   mythos2002 (mythos2002) Erfahrenes Mitglied Benutzername: mythos2002 Nummer des Beitrags: 450 Registriert: 03-2002 Veröffentlicht am Freitag, den 04. April, 2003 - 21:54:    Hi, die Beziehung MP*MP' = r² resultiert aus der Tatsache, dass P der Pol einer Polaren p bezüglich des Kreises k ist. Die Polare p, - d.i. die Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte T, T' der von dem Pol P aus an den Kreis k gelegten Tangenten - schneidet die Verbindung MP im Punkt P', und mittels Kathetensatz oder Ähnlichkeit bei den rechtwinkeligen Dreiecken MP'T und MPT ergibt sich eben MP*MP' = r². Somit hat die Spiegelung, exakter: Die Inversion eines Punktes P an k als Ergebnis den Punkt P', den Schnittpunkt der Polaren mit MP. Führt man nun unter dieser Voraussetzung die Berechnung von P' durch, ergibt sich die von dir o.a. Beziehung: Pol: P(xo|yo) Um Chaos zu vermeiden, Index o, weil P (vorübergehend) fest ist und x, y für die Schnittpunktsberechnung die laufenden Koordinaten sind (später muss man für x, y wieder x', y' und für xo, yo wieder x, y schreiben) Kreis: x² + y² = r² Polare: xo*x + yo*y = r² (Spaltformel) MP: y = (yo/xo)*x ---------------------------- P': xo*x + (yo*yo/xo)*x = r² |*xo x*(xo² + yo²) = r²*xo x wird nun zu x', y zu y' -> P'(x'|y'), der invertierte Punkt x' = r²*xo/(xo² + yo²), in y = .. einsetzen -> y' = r²*yo/(xo² + yo²) Gr mYthos P.S.: "Voraus" kommt von vor-aus, also darf man es nicht mit doppel r schreiben, es heisst ja auch nicht herrein (Beitrag nachträglich am 04., April. 2003 von mythos2002 editiert)   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 546 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Freitag, den 04. April, 2003 - 22:06:    Hi Ferdi, die Herleitung deiner Formeln ist wirklich simpel: Für die Spiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt M(0|0) und Radius r gibt es eine komplexe Funktion: w=r²/z* für r=1 wird daraus die übliche Funktionsgleichung für die Spiegelung am Einheitskreis! Bezeichnungen: Z=x+y*i (x;y Element R) z*=x-y*i (Konjugiert komplexe von Z) W=x'+y'*i (x';y' Element R) w=r²/z* x'+y'*i=r²/(x-y*i) Man erweitere den Bruch mit der komplexen Zahlr x+yi x'+y'*i=r²*(x+y*i)/(x²+y²) Koeffizientenvergleich: x'=r²*x/(x²+y²) y'=r²*y/(x²+y²) q.e.d ========================================= So einfach ist das... Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 545 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 01:41:    Aha, danke erstmal! Muss mir das hoit nachmittag mal zu Gemüte führen! Vielleicht ergeben sich ja noch Fragen... mfg   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 546 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 13:24:    Hi Niels, ein paar Fragen hät ich da glatt noch. Warum geht man hier ins komplexe? Bringt das irgendwelche Vorteile? Und welche Bedeutung hat die von dir genannte Funktion? Und irgendwie hab ich Probleme, den Koeffizientenvergleich nachzuvollziehen. Welche Koeefizienten vergleichst du? Vielleicht bin ich einfach nur blind, aber irgendwie seh ich das nich. Vielen Danke schonmal wieder im VORAUS mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 547 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 18:18:    Hi Ferdi, entschuldige, vielleicht ist "Koeffizientenvergleich" das falsche Wort. Ich habe vielmehr real und imaginärteil der Komplexen Zahle x'+y'i und den real und imaginärteil auf der rechten Seite Gleichzeichens verglichen: x'+y'*i=((r²*x)/(x²+y²))+((r²*y)/(x²+y²))*i daraus folgt: x'=r²*x/(x²+y²) y'=r²*y/(x²+y²) Wir wissen doch das ein Punkt P(x|y) als Komplexe Zahl x+y*i darstellbar ist. Deswegen können wir ruhigen Gewissens die "imaginäre Einheit i" davonjagen:-) Wie esagt Koeffizientenvergleich ist der falsche Terminus;Vergleich von Real- nd Imaginärteil meinte ich natürlich! Warum geht man hier ins komplexe? Bringt das irgendwelche Vorteile? Und welche Bedeutung hat die von dir genannte Funktion? Warum geht mans ins komplexe? Nun Wie Kollege mythos ja in seinem Beitrag geschildert hat ist der Weg ins komplexe nicht notwendig-not necessary-man kann es eben wie mythos es getan hat auch elementargeometrisch lösen. Mir war aber die Funktion w=1/z* die für die Spiegelung am Einheitskreis verantwortlich ist noch aus dem Mathe LK gut im Gdächtnis. Schließlich habe ich mich in der Schule in 13.1 mit Komplexen Zahlen und Funktionen auseinandergesetzt. Und immer wenn jemand mich auf das Thema "Spiegelungan an Kreisen" anspricht, löst der jemand eine Kettenreaktion in meinem Erbsenhirn aus, das mich dann verleitet mit den komplexen Zahlen zu arbeiten.Ob dieser Weg Vorteile bringt weis ich nicht. Mythos und ich haben eben das Thema von 2 verschiedenen Seiten angepackt und sind zum gleichen Ergebnis gekommen. In Welchen Weg zum Ziel du ein Vorteil erkennen willst ist meines erachtens Geschmackssache. Was nützt ein schon ein eleganter Beweis wenn man ihn nicht versteht? Manchmal ist die Holzhammermethode oder Holzhammermathematik für das Verständnis Vorteilhafter. Zur Bedeutung dieser Funktion. Nun die Bedeutung dieser Funktion hängt davon ab wieviel Bedeutung du ihr beimist.Bedeutung ist immer so ein relativer Begriff.Wenn du noch nichts von ihr gehört hast ist sie für dich im Moment unbedeutend. Da Ich im Mathe LK mit meinen Schulkollegen öfters mit ihr rumrechenen musste hatte sie für unseren Schulunterricht eine große Bedeutung. Dennoch halte ich diese Funktion für die Funktionstheorie für sehr wichtig, für elementar bedeutend, ohne genau abschätzen zu können wie Wichtig oder bedeutend die Funktion wirklich ist. Übrigens; wenn man eine Hyperbel am Einheitskreis Spiegelt bekommt man als Bildkurve eine "Lemniskette".Wenn man eine Parabel Spiegelt bekommt man eine "Kissoide". Hab ich glaub ich irdendwo sogar hier im Board gelesen.... Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 547 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Samstag, den 05. April, 2003 - 21:52:    Danke erstmal, leider haben wir die komplexen Zahlen nur am Rande erwänht, da 13.1 ganz im Zeichen der Stochastik stand. Da muss ich ja dann wohl noch einiges nachholen. Kennst du irgendwelche guten Bücher die man sich mal bezüglich dieses Themas besorgen könnte? mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 548 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 09:26:    Hi Ferdi, wegen deiner Frage durfte ich mein Zimmer aufräumen:-) Aber ich habe es gefunden: Unser Standartwerk in der Schule ist der dittmann gewesen: helmut dittmann Komplexe Zahlen BSV Verlag ISBN 3-7627-3270-1 (4. Auflage 1983) Das Buch ist genauso alt wie ich!!! Es gibt aber bestimmt neuere Auflagen! Aus meiner persönlichen Bibliothek zum Thema kann ich sonst dir noch empfelen: H. Pieper Die Komplexen Zahlen-Theorie-Praxis-Geschichte Verlag Harri Deutsch ISBN 3-8171-1614-4 Oder ein weiteres Schulbuch aus einem anderen Verlag: Komplexe Zahlen Ernst Klett Schulbuchverlag ISBN 3-12-739580-9 Größtenteils hab ich diese Bücher aus der Stadtbücherei ausgeliehen gehabt und mir das meiste daraus kopiert.Ansonsten kannst du ja die Bücher bestellen. Tja, da sieht man halt den Unterschied. Ihr habt in 13.1 Stochastik durchgenommen und ich komplexe Zahlen.Normalerweise wäre bei mir jetzt in 13.2 Stochastik drann, aber unser Lehrer hat darauf verzichtet und wir halten derzeit Referate. Ich habe mir zusammen mit meinen Kollegen das Thema "nichteuklidische Geometrie" ausgesucht, alerdings wird ca. 75% des Referates auf die Herleitung einiger Grundformeln zur sphärischen Trigonometrie hinauslaufen-als Anwendung der nichteuklidischen Geometrie im Altag. Du kennst dich wunderbar mit Stochastik aus und kannst fast alle Anfragen zu diesem Thema hier im Board bearbeiten, hast dafür aber defizite bei den komplexen Zahlen. Alles hat eben seinen Preis! Was ist euer Thema in 13.2? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 548 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 11:04:    Danke erst mal für deine Büchertipps! Also in 13.2 haben wir fast alles ein wenig schon mal angesprochen: Differentialrechnung im Rn Matrizen und Abbildungen und wir haben die Stochastik noch ein wenig vertieft, ansonsten war alles nur wiederholen fürs Abi... Naja, da hab ich meinen Lehrer gefragt ob er noch irgendwas interesantes für mich hätte und er gab mir einen Zettel mit Spiegelungen am Kreis... mfg   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 553 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 16:51:    @Niels Falls es dich interresiert, ich hab heute die Aufgaben in der Schule gelöst und deine Ausführungen waren nicht ganz vollständig! Wird eine Hyperbel gespiegelt erhält man eine Lemniskate, wie du schon sagtest, aber bei meiner speziellen Hyperbel, wo ein Ast in den Ursprung verschoben wurde entsteht eine sog. " Strophoide ". Wenn du willst kann ich meine Arbeit hier rein schreiben. mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 554 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 19:15:    Hi Ferdi, klar interessiert mich das! Tschuldigung, wenn meine Ausführungen unvollständig waren. Aber Ich habe meine Vermutung mit der Lemniskette mal wieder aus dem holen Bauch, oder soll ich sagen aus dem dunklen Hinterzimmer im Hinterkopf geholt.Es war eine graue Erinnerung aus der Vorzeit. Ich weiß, Mathematik ist eine exakte Wissenschaft, und man sollte daher auch mit exakten Methoden an solche sachen rangehen und nicht per Instinkt ein Schuss ins Blaue waren. Aber du musst zugeben, dass mein mathematischer Instinkt mich selten täuscht. Wenn du willst zeige ich dir die Spiegelung am Einheitskreis der Parabel und der allgemeinen Hyperbel. Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 556 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Montag, den 07. April, 2003 - 21:27:    Hi Niels, dank deinem ersten Beitrag konnte ich die Spiegelung von Parabel, Hyperbel, Ellipse etc schon selbst durchführen (hatte heute drei Freistunden...) Naja, dabei kam ich auch auf mein erstes Problem zurück: Was passiert mit einer Hyperbel, deren linker Ast in den Ursprung verschoben ist, bei einer solchen Spiegelung an einem Kreis? Also nahm ich mir eine solche Hyperbel: (x-a)2-y2=a2 setze ich hier nun: x=r2*s/(s2+t2) y=r2*t/(s2+t2) folgt: ((r2*s/(s2+t2))-a)2-(r2*t/(s2+t2))2=a2 rechnet man das aus und stellt ein wenig um: t2=[(r2-2as)/(r2+2as)]*s2 und das stellt laut Bronstein eine Strophoide dar! setzt man nun wieder t=y, s=x und a=(r/2) so erhält man die Gleichung in kartesischen Koordinaten in Reinform: y2=[(r-x)/(r+x)]*x2 mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 558 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 07:14:    Hi Ferdi, danke für die Publikation deiner Arbeit! Ist echt interessant das Thema, und mit Hilfe der komplexen Zahlen ist das echt ein Kinderspiel! Gruß N.   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 560 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 18:59:    Übrigens Ferdi, wenn du dich mit spiegelungen befasst: Hier vielleicht noch eine nette Aufgabe für dich: Was weißt du über Fixpunkte, Fixgeraden und Fixkreise(Fixpunktkreise) bei der Spiegelung am Einheitskreis? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 559 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 19:10:    Hm, also Fixpunkte kenne ich von Abbildungen her. Das sind doch Punkte die bei der Spiegelung in sich selbst übergehen? Aber bei Kreissspiegelunegn hab ich mich noch nicht damit beschäftigt. Du kannst mich aber gerne aufklären bzw mir Informationen darüber zukommen lassen! mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 562 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 21:18:    Hi Ferdi, die Definition von Fixpunkten hat sich nicht verändert. In der Tat nennt mann alle die Punkte, die durch die Abbildung (hier Spiegelung am Kreis) ihre Position nicht verändern, Fixpunkte. Die Fixpunkte der Funktion w=1/z* bzw w=r²/z* solltest du aber relativ leicht herausfinden können... Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 561 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 12:59:    Fixpunkte sind doch alle Punkte des Einheitskreise, also, die die Relation x2+y2=1 erfüllen, bzw bei w=r2/z* alle punkte die x2+y2=r2 erfüllen, denn z.B. x'=(x*r2)/(x2+y2) wird dann ja zu x'=x. Mein Lehrer hat heute auch noch was von einem unendlich fernen Punkt erzählt, wollte darauf aber nich weiter eingehen. Was hat es mit dem auf sich bei der Spiegelung? Gibt es den überhaupt? mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 564 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 13:23:    Hi Ferdi, also zu den Fixpunkten: Ja du hast recht, alle Punkte die auf dem Einheitskreis bzw auf den Ursprungskreis mit Radius r liegen sind Fixpunkte! Beweis: Wenn z0 ein Fixpunkt ist, dann gilt: z0=1/z0*=>z0*z0*=1 (Gleichung für den Einheitskreis) bzw z0=r²/z0*=>z0*z0*=r²(Gleicung eines Kreise Kz in der Z-Ebene mit Mittelpunkt M(0|0) und Radius r) ================================================= Preisfrage: Haben wir nun ein Fixkreis oder ein Fixpunktkreis? Kennst du den Unterschied? Oja, der "unendlich ferne Punkt" oder auch "UFP" genannt ist eine tolle Erfindung trickreicher Mathematiker! Soll ich darücher auch noch etwas erzählen? (Ich komme mir manchmal wie ein Märchenopa vor, der allerdings keine Märchen sondern von der höheren Mathematik erzählt:-)*g*) Hat dein Lehrer auch was von Herrn Riemann erzählt? Stichwort "Riemannsche Zahlenkugel" oder etwa nicht? Preisfrage: Was hat Herr Riemann mit seiner Kugel mit der Spiegelung am Einheitskreis zu tun? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 563 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 13:36:    Also wenn die Definitionen aus den Abbildungen erhalten bleiben, dann würde ich sagen handelt es sich um einen Fixpunktkreis, da er Punkt für Punkt auf sich abgebildet wird. Also, er hat das nur am Rande erwähnt, den UFP, er war mehr damit beschäftigt meinen Mitschülern ihre quälenden Fragen zum Abitur zu beantworten. Von Riemann hat er nichts gesagt. Ich kenne Riemann nur von seiner Zetafunktion und der daraus beruhenden Vermutung... Kannst ja ein kurzes Märchen erzählen und andeuten worums geht, wenns keine Umstände macht, dann können wir ja sehen. mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 565 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 14:18:    Hi Ferdi, du hast recht, es handelt sich um einen "Fixpunktkreis". Wie sieht es mit Fixgeraden aus? gibt es Fixgeraden oder Fixpunktgeraden? zum UFP: Kleine Frage am Rande, wohin wird der Mittelpunkt M(0|0) des Einheitskreises, bzw des Kreises mit M(0|0) und Radius r abgebildet? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 564 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 14:35:    Hm, also Geraden durch den Nullpunkt müssten Fixgeraden sein, da Geraden mit y=mx+b mit b ungleich 0 ja in kreise abgebildet werden! Der Mittelpunkt müsste ja ins unendlich abgebildet werden, da x'=(r2*x)/(x2+y2) Dann stünde im Nenner ja null! Das geht ja nich! mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 566 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 15:25:    Hi Ferdi, mit den Fixgeraden hast du auch recht, mir fehlt aber der mathematische Beweis! Ganz du das auch beweisen oder soll ich das Beweisen? Der Mittelpunkt müsste ja ins unendlich abgebildet werden, da x'=(r2*x)/(x2+y2) Dann stünde im Nenner ja null! Das geht ja nich! Exakt! der Ursprung wird ins unendliche abgebildet, oder besser gesagt auf den "unendlich fernen Punkt"(UFP) abgebildet. Das ist das ganze Geheimnis vom UFP. Preisfrage: wo liegt der UFP in der Gaußschen Zahlenebene? oder anders gesagt, gibt es eine Abbildungsvorschrift der jden Punkt der ´Gaußschen Ebenen ein Bildpunkt zuordnet und zusätzlich noch den UFP einen Punkt zuweißt? Punkte sind ungern allein und hätten gerne immer einen Partner:-) Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 566 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 16:57:    Der Beweis ergibt sich ja einfach durch einsetzen der Koordinaten in die Geraden Gleichung! y=ax x=(r2*s)/(s2+t2) y=(r2*t)/(s2+t2) Man erhält t=as q.e.d. Hm, wo der Punkt in der Gauss'schen Ebene liegt kann ich mir nicht vorstellen, aber du kannst es mir ja verraten :-) mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 568 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 17:38:    Hi Ferdi, Hm, wo der Punkt in der Gauss'schen Ebene liegt kann ich mir nicht vorstellen Da bist du nicht der einzige! Es ist zimlich schwirig sich die Lage eines Punktes in der Gaußschen Ebene vorzustellen, der nicht in der Gaußschen Ebene liegt:-) Im Ernst! In der Ursprünglich x,y Eben-der sog. Gaußschen Ebene ist er UFP nicht enthalten. Das war mal wieder eine kleine Fangfrage meinerseits, der du glatt auf dem Leim gegangen bist. Mann muß erst der ursprünglichen Gaußschen Eben den UFP hinzufügen, erweitern. Mann spricht dann von der erweiterten gaußschen Eben Cu{¥}. Preisfrage: In welchen Punkt schneiden sich alle Ursprungsgeraden der gaußschen Eben? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 568 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 20:08:    Hm, alle Ursprungsgeraden? Die sind ja quasi parallel, also wohl im UFP?? mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 569 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. April, 2003 - 20:21:    Hi FErdi, Warum sollen beispielsweise die Geraden y=2x und y=-3x parallel sein? Beweise deine Behauptung! Ich will mal wieder auf ein Bestimmten Begriff hinaus, der schon in einem meiner Beiträge von mir "beiläufig erwähnt" worden ist, hier aber von entscheidender Bedeutung ist.Kannst du dier denken welchen? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 571 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 07:57:    Das war natürlich Schwachsinnn, was ich da geschrieben habe, ich hab da noch an eine Aufgabe gedacht, die ich grad gerechnet hatte, da gings um eine Parallelenschar... Wenn ich beweisen würde das alle Geraden durch den Ursprung parallel sind, würd ich bestimmt den Nobelpreis bekommen... Naja, es wurden schon viele Begriffe beläufig erwähnt, mir fällt kein Spezieller ins Auge... mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 570 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 13:04:    Hi Ferdi, du hast mit deiner Aussage ja recht gehabt!! In der Tat schneiden sich alle Ursprungsgeraden nicht nur im Ursprung sondern auch im UFP! Ich bin mir sogar zimlich sicher, das sich sogar alle Geraden im UFP schneiden! Zum Beweis brauch man die Riemansche Zahlenkugel. Kannst du dir vorstellen wieso diese so hilfreich sei, und was die i{Riemansche Zahlenkugel} mit der Spiegelung am Einheitskreis zu tun hat? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 575 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 13:29:    Also, ich hab mich da mal ein wenig informiert: Die Riemannsche Zahlenkugel ist dann ein Kugel mit dem Radius r=0,5. Jedem Punkt p der Gauss'schen Ebene, wird ein Punkt auf der Kugel zugeordnet, und zwar der, der als Schnittpunkt der Strecke von p zum Nordpol der Kugel die Kugel durchstößt. Hieran erkennt man dann das Geraden der Ebene auf der Kugel als Kreise abgebildet werden und Kreise um den Nullpunkt als Kreise. Und dem Nordpol der Kugel wird unser Freund der UFP zugeordnet, damit jedem Punkt der Ebene einer auf der Kugel zugeordnet wird. Wozu ist die Kugel noch nützlich? mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 571 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 14:03:    Hi Ferdi, Beispielsweise könnte man ja folgendes Beweisen: Aufgabe: Beweise, das die Spiegelung am Einheitskreis, der Spiegelung an der Äquartorebene der Riemanschen Zahlenkugel entspricht! Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 577 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 15:05:    Hm, also wenn man diese Kugel senkrecht zur Ebenen der reelen Achse schneidet, dann sieht man das alle Punkte innerhalb des Einheitskreises auf die Südhalbkugel projeziert werden, alle auserhalb auf die Nördlich Halbkugel und der Einheitkreis selbst wird direkt auf den Äquator abgebildet. Was besseres fällt mir dazu nicht ein... mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 574 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 18:01:    Hi Ferdi, das kannst du aber geometrisch beweisen! Du musst einfach zeigen, das gewisse Winkel gleich sind.... Kannst du dir vorstellen wie ich das meine? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 581 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 18:18:    Hm, irgendwie nicht. Welche Winkel meinst du? Ich war heute auch mal in der Bücherei, und das beste Mathebuch was sie hatten war Abiturtraining Gymnasium. Nix über komplexe Zahlen, ja kaum was über Mathe... Mal sehen ob ich die Bücher woanders finde. mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 575 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 21:02:    Hi Ferdi, ich schick dir morgen mal ein Skizze, damit du weist was ich meine.... Sag mal, In welchen Bundesland wohnst du, und wohnst du in einer Stadt in der es auch eine Universität gibt oder nicht. Ich wohne nämlich in Kiel und bei unser Lokalen Universitätsbücherei (Christian Albrechts Universität) habe ich mir eine sogenante "Stadt- Land Nutzerkarte" besorgt. Man muss nicht umbedingt Student sein, um sich in der Uni Bücherei auszutoben:-) würde ich dir auch empfelen! Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 582 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 21:26:    Ich wohne in NRW, so ziemlich am Po der Welt. Die nächsten Unis sind alle 90min Autofahrt entfernt und die Bücherei, naja, wie gesagt... Morgen is mein letzter Schultag, dann noch Abi schreiben und ab zum Bund, dann muss Mathe leider ein wenig zurückstehen :-(, deswegen muss ich jetzt noch ein wenig schaffen... mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 577 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. April, 2003 - 21:42:    Hi Ferdi, na, dann hat dich also unser guter Herr Struck doch erwischt... Dann darfst du demnächst auch unser gelibtes Vaterland am Hindukusch oder in Bagdad verteidigen:-) Ich verteidige lieber das "Zahlenreich", die Zahlen leisten jedenfalls nich alzu viel wiederstand! :-) Und um das Abi solltest du dir nun wirklich keine Sorgen machen! Dein Mathelehrer kannst du doch nun wirklich mit Laplace und Co an die Wandspielen.... Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 584 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 09:26:    Ach, ich mach mir um gar nix sorgen! Ich nhem alles im Leben wie es grad kommt. Und ich reiße meine 9 Monate da ab, bin ja zum Glück in der Kaserne die 15min von hier entfernt ist. Dann kann ich ja ab und zu hier nochmal vorbeischauen... mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 580 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:01:    Hi Ferdi, zurück zur Kreisspiegelung: So, es geht um die Spiegelung am Einheitskreis. Behauptung: Die Spiegelung an der Äquartorebene der Riemanschen Zahlenkugel entspricht der Spiegelung am Einheitskreis in der Gaußschen Ebene. Finde nun durch das Bild eine zu der Behauptung äquivalente Mathematische Aussage! Hinweis: Die komplexe Funktion für die Spiegelung am Einheitskreis lautet: w=1/z* Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 587 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 14:41:    Hm, mir würde da kein Beweis einfallen, ich könnte wohl nur zeigen, dass die beiden Winkel gleich sind. Aber was das dann zu Bedeuten hat sehe ich grad nich. Hoffe du kannst mich aufklären... mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 584 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 15:35:    Hi Ferdi, Kw ist der Schnittpunkt der Strecke NW mit der Kugel, Kz* ist der Bildpunkt, den man erhält, wenn man Kw am Äquartor spiegelt.Leider habe ich vergessen Kz* als Schnittpunkt der Strecke NZ* direkt einzuzeichnen. Es gilt nun: |w|/1=|w|=tan(y1) 1/|z*|=tan(y2) da ja bei der Spiegelung w=1/z* ist folgt daraus: tan(y1)=tan(y2) und da álle winkel stehts kleiner als pi/2 (90°) sind können wir gleich Die Behauptung aufstellen: y1=y2 Und das ist die zu unserer anderen Behauptung die mathematisch äquivalente Behauptung. Diese kannst du doch leicht beweisen oder? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 588 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 16:41:    Hm, irgendwie hab ich da ne Blockade. Das mit den Winkeln hatte ich auch so bewiesen, aber wie ich daraus folgern kann, dass durch Spiegelung von z* am Einheitskreis zu w, folgt das Kz* durch Spiegelung an der Äquatorebene in Kw übergeht, weiß ich nicht, bzw. sehe es nicht... mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 585 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 17:34:    Hi Ferdi, du hast mich einfach missverstanden. Kw ist der Punkt der zu w gehört.Dann spiegeln wir kw an der Äquatorebene und erhalten kz*. kz* gehört zu z*. Wenn W der Bildpunkt ist, der Bei der Spiegelung von z* am Einheitskreis entsteht, dann und nur dann sind die Winkel y1 und y2 gleich.Diese Tatsache ist aber noch nicht von dir geometrisch bewiesen worden! Oder Siest du sofort das die Winkel gleich sind-ohne nachmessen versteht sich.Das mußt du erst geometrisch-rechnerisch nachweisen, es fehlen noch gewisse Hilfslinien in meiner Zeichnung, so das du wirklich die Relation beweisen kannst.Das ist ja gerade jetzt deine Aufgabe-It's your turn! Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 589 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 19:56:    Also ehrlich, ich geb mich geschlagen. Ich habs jetzt zwei Stunden versucht, ich meine ich war nie der beste in Geometrie oder in Beweisführung, aber irgendwie hab ich hier ein Brett vorm Kopf. Ich hätte auch nie gedacht, dass das Thema wieder so ein Rattenschwanz nach sich zieht, aber das ist ja das schöne an diesem Forum. Ich geh jetzt auch los, der letzte Schultag muss begossen werden... mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 588 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 13:23:    Hi Ferdi, hilft dir den folgende, für den Beweis ergänzte Skizze, den beim beweisen weiter? Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 592 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 14:23:    Hi, Das hilft mir nicht wirklich, ich bin eher noch mehr verwirrt. Das mit diesen Winkeln hab ich noch nie so recht verstanden (das waren die beiden einzigen Mathearbeiten in meinem Leben wo ich ne 3 bekommen hab). Naja, wenn du willst kannst du ja den Beweis kurz skizzieren, dann könnten wir das Thema auch beenden, da ich bei Laplace schon viel Rechne und langsam, fürs Geschichtsabi noch ein wenig wiederholen muss... mfg   Niels (niels2) Senior Mitglied Benutzername: niels2 Nummer des Beitrags: 590 Registriert: 06-2001 Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 15:06:    Hi Ferdi, im Grunde ist der Beweis nun wirklich einfach! Wir schauen uns das Dreieck SZ*Kz* an: Winkelsumme in Dreieck ist immer 180° c+y2+90°=180° c+y2=90°.......(I) Es gilt gleichzeitig: c+y1=90°.......(II) Wenn man (I) und (II) gleichsetzt, dann erhält man: c+y2=c+y1 y2=y1 q.e.d ================================================= Ist nun der Euro-Cent gefallen? :-) Gruß N.   Ferdi Hoppen (tl198) Senior Mitglied Benutzername: tl198 Nummer des Beitrags: 594 Registriert: 10-2002 Veröffentlicht am Samstag, den 12. April, 2003 - 15:41:    Tja, da wär ich alleine wohl echt nicht drauf gekommen... Danke dir für deine Hilfe bei diesem Thema. Muss jetzt die Tage mir mal die Bücher über komplexe Zahlen besorgen... mfg

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