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Jasmin (häslein)
Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. April, 2003 - 19:37: | 
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Hilfe! Kann mich jemand vor der folgenden Aufgabe retten?
Gegeben ist die Funktionenschar
fa:R->R;x-> a/(a*e^x+1) , a ist Element von R
Untersuchen Sie das Grenzwert- und Monotonieverhalten von fa und bestimmen Sie die Wertemenge!
Begründen Sie, dass fa auf ihrer Wertemenge umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion.
Kann mir jemand zum Vergleich beim Lösen der Aufgabe helfen. Glaube, ich habe mich ziemlich verhauen. |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 442
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. April, 2003 - 21:20: |
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Hi,
Grenzwert:
lim fa (x - > +oo) = 0, weil e^x -> oo f. x -> +oo
lim fa (x - > -oo) = a, weil e^x -> 0 f. x -> -oo
genauer:
lim e^x (x -> -oo) = lim (e^(-x)) (x -> oo) = lim (1/e^x) (x -> oo) = 0
Ich nehme an, es soll nur a € R+ sein!
Wenn nicht, ist hinsichtlich a eine Fallunterscheidung vorzunehmen:
1. a > 0
Nenner hat keine Nullstelle, daher hat auch fa keine Polstelle (Sprungstelle von positiven nach negativen y-Werten)
0 < fa < a
Daher ist die Wertemenge (alle y-Werte, die Werte, die fa annehmen kann) das Intervall (0; a), also liegen alle fa zwischen a und 0
2. a = 0
fa = 0; Wertemenge: {0}
3.
a < 0: Wertemenge: R \ {(a; 0)}
a)
-1 < a < 0
fa hat Polstelle bei -ln(-a), diese liegt zw. 0 und 1
b)
a = -1
fa hat Polstelle bei x = 0
3.
c)
-oo < a < -1
fa hat Polstelle bei -ln(-a), diese sind negativ
Monotonie:
An allen Stellen der Def. Menge: R ausgenommen die Polstellen(!) und für alle Werte von a ist fa monoton fallend.
Man zeigt dies entweder damit, dass für zwei verschiedene x-Werte mit x2 > x1 gilt: fa(x2) < fa(x1), oder dass der Wert der 1. Ableitung (Steigung) durchwegs negativ ist, also die y-Werte mit steigendem x fallend sind.
x2 = x1 + h, h > 0
fa(x2) = a/(a*e^(x1+h) + 1)
fa(x2) = a/(a*(e^x1)*(e^h) + 1)
fa(x1) = a/(a*e^(x1) + 1)
--------------------------------
Da bei fa(x2) der Nenner größer ist als bei fa(x1), ist fa(x2) - fa(x1) < 0, -> fa monoton fallend
Für die Umkehrfunktion lösen wir die Funktionsgleichung nach x auf:
a/(a*e^x + 1) = y
a = y*a*e^x + y
(a - y)/ax = e^x
x = ln[(a - y)/ay]
===================
(a - y)/ay ist im Wertemengenbereich immer positiv, daher existiert dort auch die Umkehrfunktion.
Bei negativem a, wobei ja, wie schon erwähnt, Polstellen existieren, sind diese Polstellen auszuschließen!
Graphik:
<Exp-Schar.gif>
Gr
mYthos
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Jasmin (häslein)
Mitglied
Benutzername: häslein
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 06. April, 2003 - 18:19: |
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Vielen Dank für deine Hilfe. Hat mir echt weitergeholfen. Sag mal, was für ein Programm benutzt du denn zur Darstellung von Graphen? Suche noch ein vernünftigeres als das jetzige. |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 469
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. April, 2003 - 22:08: |
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Hallo Jasmin,
MatheAss 8 heisst das ggst. Programm, es ist klein und kann in einigen Bereichen verhältnismäßig viel (wenngleich bei weitem nicht alles abgedeckt werden kann, so wie etwa bei Maple oder Derive ...).
Eine der Stärken des Programmes ist die problemlose und schnell anpassbare graphische Darstellung von Funktionen.
Es macht auch Kurvendiskussionen und Flächenberechnungen.
Das Programm ist Shareware, falls du es nicht findest, kannst es von mir per Mail bekommen.
Grafiken kann dieses Programm nicht abspeichern, ich mache immer einen Screenshot davon , kopier' ihn in ein Grafikprogramm (PaintShopPro) und bearbeite das dann hinsichtlich Beschriftung noch weiter.
Gr
mYthos
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Bernd Schultheiss
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Oktober, 2011 - 15:31: |
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Hallo,
ich bin per Zufall über diesen alten Beitrag gestolpert und möchte ergänzen, dass das Speichern natürlich einfacher geht. Mit der Schnappschussfunktion (Kamerasymbol) kann man die Grafik direkt in die Zwischenablage kopieren und von dort in ein Grafikprogramm oder in Word importieren. Die aktuelle Version 8.2 von MatheAss gibt es auf www.matheass.de .
Gruß
Bernd Schultheiss |
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