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Beitrag |
    
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 536
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. April, 2003 - 17:17: | 
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Hi,
wie sieht der Gradient der Kugel x2+y2+z2=49 an der Stelle P(6|2) aus?
Ich versuche hiermit meine Tangentialebene an diesem Punkt zu verifizieren.
Für die Tangentialebene hab ich:
6x+2y+3z=49
Für den Gradienten hab ich als Partielle Ableitungen:
f'x=-x/(sqrt(49-x2-y2)
f'y=-y/(sqrt(49-x2-y2)
D.h. an der Stelle lautet der Gradient: (-2,-(2/3))
Und nun hänge ich fest, wie komme ich von hier auf die Tangentialebene? Oder hat sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen?
Vielen Dank im Vorraus |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2002
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. April, 2003 - 12:54: |
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Hi Ferdi,
Wir tun, was wir können, um Dich nicht hängen zu lassen.
Wenn Du als Punkt P1 auf der Kugelfläche den Punkt P(6/2/3) meinst,
so ist die von Dir angegebene Gleichung der Tangentialebene mit P1 als
Berührungspunkt richtig.
Dasselbe Resultat bekommst Du, wenn Du den Gradienten der
Funktion F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 – 49 ermittelst.
Es gilt:
grad (F) = {2x ; 2y ; 2z} ;für P1 entsteht daraus der Vektor n ={12 ; 4; 6}
welcher einen Normalenvektor der gesuchten Tangentialebene darstellt
Voilà !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 537
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. April, 2003 - 15:40: |
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Hm, aber wir haben Tangentialebenen bisher immer nur mit zweidimensionalen Gradienten gelöst, wir haben immer dazu erst nach z aufgelöst:
z.B. für z=8-y^2-0,5x^2
Haben wir den Gradienten berechnet:
Grad(f)=(-x,-2y)
dann hatten wir die Stelle B(2|1)
Als Tangentialebene hatten wir dann die Formel:
z=f(B)+[Grad(B)*((x-2),(y-1))T]
das lieferte 2x+2y+z=11
wenn ich das nun auf die Kugel anwende liefert mir das immer zu meinen partiellen Ableitungen:
z=9+[(-2,-(2/3))*((x-6),(y-2))T]
z=9-2x+12-(2/3)y+(4/3)
2x+(2/3)y+z=67/3
6x+2y+3z=67
was ja falsch ist, also muss entweder in der Formel meines Lehrers ein Fehler sein (wohl nicht) oder in meiner Rechnung. Aber mit dem dreidimensionalen Gradienten klappts ja sofort!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 540
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. April, 2003 - 19:43: |
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STOP!! Kommando zurück!
Alles klar! Ich hab vergessen die Wurzel zu ziehen, denn:
f(6;2)=3 und nicht 9. Immer diese Rechenfehler ;-)
mfg |
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